第一部分层级二75分的重点保分题精析精研重点攻关文档格式.docx

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2016

对数函数的定义域、值域问题·

T10

2015

分段函数的求值·

T11

函数图象与解析式的关系·

T13

函数的概念及表示

[师生共研·

悟通]

1．函数的三要素

定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则．

2．分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

[典例]　

（1）（2016·

全国卷Ⅱ）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A．y＝x　　　　　　　B．y＝lgx

C．y＝2xD．y＝

[解析]　选D　函数y＝10lgx的定义域与值域均为（0，＋∞）．结合选项知，只有函数y＝的定义域与值域均为（0，＋∞），故选D.

（2）（2017·

广州综合测试）已知函数f（x）＝则f（f（3））＝（　　）

A.B．

C．－D．－3

[解析]　选A　因为f（3）＝1－log23＝log2<

0，

所以f（f（3））＝f＝2log2＋1＝2log2＝.

[类题通法]

1．函数定义域的求法

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略

（1）求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

（2）求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

（3）解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

（4）求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．

（5）利用函数性质求值：

依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解．

[即学即用·

练通]

1．函数y＝的定义域为（　　）

A．（－∞，1]B．[－1,1]

C．[1,2）∪（2，＋∞）D.∪

解析：

选D　要使函数y＝有意义，

则解得

即－1≤x≤1且x≠－，

所以该函数的定义域为∪.

2．（2017·

全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>

1的x的取值范围是________．

由题意知，可对不等式分x≤0,0<

x≤，x>

讨论．

当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>

1，解得x>

－，

∴－<

x≤0.

当0<

x≤时，原不等式为2x＋x＋>

1，显然成立．

当x>

时，原不等式为2x＋2x－>

综上可知，x的取值范围是.

答案：

3．已知函数f（x）＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．

当x≥1时，f（x）＝2x－1≥1，

∵函数f（x）＝的值域为R，

∴当x<

1时，（1－2a）x＋3a必须取遍（－∞，1）内的所有实数，则解得0≤a＜.

函数的图象及应用

函数图象的4种变换方式

（1）平移变换

①水平平移：

y＝f（x±

a）（a>

0）的图象，可由y＝f（x）的图象向左（＋）或向右（－）平移a个单位而得到．

②竖直平移：

y＝f（x）±

b（b>

0）的图象，可由y＝f（x）的图象向上（＋）或向下（－）平移b个单位而得到．

（2）对称变换

①y＝f（－x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称；

②y＝－f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称；

③y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象关于原点对称．

（3）伸缩变换

①y＝af（x）（a>

0）的图象，可由y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变而得到；

②y＝f（ax）（a>

0）的图象，可由y＝f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到．

（4）翻折变换

①作出y＝f（x）的图象，将图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，其余部分不变，即得到y＝|f（x）|的图象；

②作出y＝f（x）在y轴上及y轴右边的图象，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得到y＝f（|x|）的图象．

[典例]　

（1）（2017·

全国卷Ⅲ）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（　　）

[解析]　选D　法一：

易知函数g（x）＝x＋是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y＝1＋x＋的图象只需把g（x）的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.

法二：

当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除选项B.当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除选项A、C.选D.

合肥模拟）函数f（x）＝－x2＋3x＋a，g（x）＝2x－x2，若f（g（x））≥0对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[－e，＋∞）B．[－ln2，＋∞）

C．[－2，＋∞）D.

[解析]　选C　如图所示，在同一坐标系中作出y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋的图象，由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x<

x2＋恒成立，即1≤2x－x2<

，当且仅当x＝0或x＝1时等号成立，∴1≤g（x）<

，∴f（g（x））≥0⇒f

（1）≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2，则实数a的取值范围是[－2，＋∞）．

寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置．

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复．

[即学即用·

1．（2017·

惠州三调）函数f（x）＝cosx（－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）

选D　函数f（x）＝cosx（－π≤x≤π且x≠0）为奇函数，排除选项A、B；

当x＝π时，f（π）＝cosπ＝－π<

0，排除选项C，故选D.

2．已知函数f（x－1）是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞）上是增函数，则函数f（x）的图象可能是（　　）

选B　函数f（x－1）的图象向左平移1个单位，即可得到函数f（x）的图象，因为函数f（x－1）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x－1）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于点（－1,0）对称，排除A、C、D，选B.

3．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.

－

函数的性质及应用

1．判断复合函数单调性的常用结论

（1）当f（x），g（x）同时为增（减）函数时，f（x）＋g（x）为增（减）函数．

（2）设f（x），g（x）都是增（减）函数，则当两者都恒大于0时，f（x）·

g（x）是增（减）函数；

当两者都恒小于0时，f（x）·

g（x）是减（增）函数．

2．函数奇偶性的重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．

（2）若奇函数f（x）定义域中含有0，则必有f（0）＝0.

[注意]　f（0）＝0是f（x）为奇函数的既不充分也不必要条件．

3．周期性的3个常用结论

对f（x）定义域内任一自变量的值x：

（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a；

（2）若f（x＋a）＝，则T＝2a；

（3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a.（a>

0）

[典例]　

（1）（2018届高三·

广西三市第一次联考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，若实数a满足f（2log3a）>

f（－），则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，）B．（0，）

C．（，＋∞）D．（1，）

[解析]　选B　∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0]上单调递增，

∴f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减．

根据函数的对称性，可得f（－）＝f（），

∴f（2log3a）>

f（）．

∵2log3a>

0，f（x）在区间[0，＋∞）上单调递减，

∴0<

2log3a<

，即log3a<

，解得0<

a<

.

山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

[解析]　∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（x＋6）＝f（x），

∴f（x）的周期为6，

∵919＝153×

6＋1，∴f（919）＝f

（1）．

又f（x）为偶函数，∴f（919）＝f

（1）＝f（－1）＝6.

[答案]　6

1．判断函数单调性的4个技巧

（1）对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法．

（2）对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题．

（3）对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法．

（4）对于抽象函数一般用定义法．

2．函数奇偶性的3个特点

（1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．

（2）确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．

（3）对于偶函数而言，有f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

1．已知函数f（x）＝ln（|x|＋1）＋，则使得f（x）>

f（2x－1）成立的x的取值范围是（　　）

A.B.∪（1，＋∞）

C．（1，＋∞）D.

选A　易知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ln（x＋1）＋是增函数，∴使得f（x）>

f（2x－1）成立的x满足|2x－1|<

|x|，解得<

x<

1.

天津高考）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）．若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A．a<

b<

cB．c<

a

C．b<

cD．b<

c<

选C　由f（x）为奇函数，知g（x）＝xf（x）为偶函数．

因为f（x）在R上单调递增，f（0）＝0，

所以当x>

0时，f（x）>

所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，且g（x）>

0.

又a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），

20．8<

2＝log24<

log25.1<

log28＝3，

所以b<

c.

3．已知定义在R上的函数f（x）满足：

y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称，且当x≥0时，恒有f（x＋2）＝f（x），当x∈[0,2）时，f