七年级下册讲义5.1相交线.doc
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CLARK-EDU小康老师7年级讲义—5.1相交线
一、基础知识点：
1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
2.相交：
在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。
3.邻补角：
（1）定义：
有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：
位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）
4.对顶角：
（1）定义：
有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角
（2）性质：
对顶角相等
几何语言：
∵∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°
∴∠1=∠3（同角的补角相等）
5、邻补角和对顶角的区别和联系
图形
顶点
边的关系
大小关系
对顶角
1
2
∠1与∠2
有公共顶点
∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线
对顶角相等
即∠1=∠2
邻补角
4
3
∠3与∠4
有公共顶点
∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线。
∠3+∠4=180°
注意：
⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角
⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
概念巩固
1、如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°，求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数.
解：
∵∠BOD与∠AOC是对顶角
∴＝＝°（）
∵与是邻补角
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－50°＝130°
∵与是对顶角
∴∠BOC＝∠AOD＝130°（）
2、如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD、∠AOC的度数.
6、垂线
A
B
C
D
O
⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
几何语言记作：
如图所示：
AB⊥CD，垂足为O
⑵垂线性质1：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）
⑶垂线性质2：
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：
垂线段最短。
7、垂线的画法：
⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。
注意：
①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。
P
A
B
O
8、点到直线的距离
（1）定义：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离
如图，PO⊥AB，点P到直线AB的距离是PO的长。
PO是垂线段。
PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。
（2）应用：
现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
9、“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”联系与区别
⑴垂线与垂线段的区别：
区别：
垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。
联系：
具有垂直于已知直线的共同特征。
（垂直的性质）
⑵两点间距离与点到直线的距离
区别：
两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。
联系：
都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。
⑶线段与距离距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。
概念巩固
1．下列说法中正确的是（）
A．有且只有一条直线垂直于已知直线。
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离。
C．互相垂直的两条直线一定相交。
D．直线c外一点A与直线c上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是3cm，则点A到直线c的距离是3cm。
第2题
2．如图，计划把河水引到水池A中，先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是
_________________________________________.
第4题
第3题
3．如图，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，则∠BOC＝______．
4、如图，OA⊥OB，OC⊥OD，垂足均为O．则∠BOC＋∠AOD等于…………（ ）
（A）150°（B）160°（C）170°（D）180°
10、三线八角
1
2
3
4
5
6
7
8
两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。
如图，直线被直线所截
①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，
叫做同位角（位置相同）
②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）
③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。
同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。
11、如何判别三线八角
判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。
6
B
A
D
2
3
4
5
7
8
9
F
E
C
例如：
1
如图，判断下列各对角的位置关系：
⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。
我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。
如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。
A
B
C
1
7
A
B
F
2
1
A
B
C
D
2
6
A
D
B
F
1
概念巩固练习
1、如图，∠1的内错角是，它们是直线、被直线所截得的；
∠1的同位角是，它们是直线、被直线所截得的；
∠1的同旁内角是，它们是直线、被直线所截得的；
2．如图，下列判断：
①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是…………………………………（ ）
（A）①、②、③（B）①、②、④（C）②、③、④（D）①、②、③、④
3、如图，图中的同位角共有……………………………………………………………（ ）
（A）6对（B）8对（C）10对（D）12对
二、随堂练习：
1．下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的图形的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
2．三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对，交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（）
A．m=nB．m＞nC．m＜nD．m+n=10
3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，如果∠EOD=38°，则∠AOC=，∠COB=。
4．如图，直线AB、CD相交于点O，∠1－∠2=64°，
则∠AOC=______.
5、如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，
∠1=50°，求∠COB、∠BOF的度数.
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