中考章节复习二十第二章一元二次方程Word下载.docx
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1.灵活运用四种解法解一元二次方程
一元二次方程的一般形式:
a2x+bx+c=0（a≠0）
四种解法:
直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,公式法:
x=
（b2-4ac≥0）
注意:
掌握一元二次方程求根公式的推导;
主要数学方法有:
配方法,换元法,“消元”与“降次”.
2.根的判别式及应用（△=b2-4ac）
（1）判定一元二次方程根的情况.
△>
有两个不相等的实数根;
△=0
有两个相等的实数根;
△<
没有实数根;
△≥0
有实数根.
（2）确定字母的值或取值范围.
应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;
考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.
3.根与系数的关系（韦达定理）的应用
韦达定理:
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1+x2=-
x1·
x2=
.
（1）已知一根求另一根及未知系数；
（2）求与方程的根有关的代数式的值;
（3）已知两根求作方程;
（4）已知两数的和与积,求这两个数;
（5）确定根的符号:
（x1,x2是方程两根）.
有两正根
有两负根
有一正根一负根
有一正根一零根
有一负根一零根
x1=x2=0
应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;
求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x1、x2为根的一元二次方程为x2-（x1+x2）x+x1x2=0;
求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;
求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x1+x2,两根之积x1x2的代数式的形式,整体代入.
4.一元二次方程的应用
解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.
四、中考题型例析
1.了解方程判定方程根的情况
例1（2004·
武汉）一元二次方程4x2+3x-2=0的根的情况是（）.
A.有两个相等的实数根;
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根;
D.没有实数根
解析:
因为△=32-4×
4×
（-2）>
0,所以该方程有两个不相等的实数根.
答案:
B.
2.由方程根的情况求字母系数的取值范围
例2（2004·
重庆）若关于x的一元二次方程x2+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是（）
A.m>
B.m<
C.m>
-
D.m<
分析:
因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足△>
0.
解:
由题意,得△=12-4×
1×
（-3m）>
0,
解得m>
C.
3.解一元二次方程
例3（2004·
四川）解方程:
x2+3x=10.
根据方程的特点,可用公式法求解.
原方程就是x2+3x-10=0,
这里a=1,b=3,c=-10.
b2-4ac=32-4×
（-10）=49.
∴x=
∴x1=2,x2=-5.
点评:
要根据方程的特点灵活选用方法解方程.
4.根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值.
例4（2004·
河北）若x1,x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根,则x12+x22的值是（）
A.
B.
C.
D.7
本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x12+x22,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x1+x2和x1x2的代数式,再整体代入.
由根与系数关系可得x1+x2=
x12+x22=（x1+x2）2-2x1·
x2=（
）2-2×
=
A.
公式之间的恒等变换要熟练掌握.
5.一元二次方程的应用
例5（2004·
陕西）在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）
A.x2+130x-1400=0B.x2+65x-350=0
C.x2-130x-1400=0D.x2-64x-1350=0
在矩形挂图的四周镶一条宽为xcm的金边,那么挂图的长为（80+2x）cm,宽为（50+2x）cm,由题意,可得（80+2x）（50+2x）=5400.
基础达标验收卷
一、选择题
1.（2004·
武汉）一元二次方程x2-4=0的根为（）.
A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=4
2.（2004.长沙）下列一元二次方程中,有实数根是（）.
A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0；
C.x2+x-1=0D.x2+4=0
3.（2004·
河南）如果关于x的方程x2+mx+1=0的两个根的差为1,那么m等于（）.
A.±
2B.±
C.±
D.±
4.（2004·
安徽）方程x2-3x+1=0根的情况是（）.
A.有两个不相等的实数根;
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根;
D.只有一个实数根
5.（2004·
云南）用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0,则方程可变形为（）.
A.（x-4）2=9B.（x+4）2=9;
C.（x-8）2=16D.（x+8）2=57
6.（2004·
黄冈）下列说法中正确的是（）[可多选]
A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2;
B.方程2x2-3x-5=0的两实数根之积为-
C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18;
D.方程x2+3x-5=0的两实数根的倒数和为
二、填空题
天津）已知关于x的方程x2-3x+m=0的一个根是另一个根的2倍,则m的值为_______.
2.（2004.沈阳）方程x2-2x-3=0的根是________.
3.（2004,青海）方程x2+ax-1=0有_______个实数根.
4.（2004.青海）以2+
和2-
为根的一元二次方程是_________.
5.（2003.重庆）已知x1、x2是关于x的方程（a-1）x2+x+a2-1=0的两个实数根,且x1+x2=
则x1·
x2=_________.
三、解答题
1.（2004.上海）关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.
2.（2004.重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m-3）x+m2=0的两个不相等的实数根为α、β满足
=1,求m的值.
3.（2004.南昌）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0.
（1）当m取什么值时,原方程没有实数根.
（2）对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.（2004.沈阳）阅读下列解题过程:
题目:
已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求
的值.
∵△=32-4×
1=5>
∴α≠β.①
由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.②
∴
=-3③
阅读后回答问题:
上面的解题过程是否正确?
若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.
二、跨学科应用题
2.队伍长skm.通讯员从排尾赶到排头后又立即返回排尾,这时队伍恰好前进了skm,假设这一过程中,队伍和通讯员的速度不变,求通讯员所走的路程.
三、开放探索题
3.（2004.四川）已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0……①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0……②的两个实数根x1,x2之差的绝对值为1?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由.
四、实际应用题
4.（2004.广东）某商场今年2月份的营业额为400万元,3月份的营业额比2月份增加10%,5月份的营业额达到633.6万元,求3月份到5月份营业额的平均月增长率.
答案:
一、1.C2.C3.C4.A5.B6.B、C、D
二、1.22.x1=3,x2=-13.24.x2-4x+1=05.-1
三、
1.解:
由题意,得m≠0,而且
△=[-（3m-1）]2-4m（2m-1）=9m2-6m+1-8m2+4m=m2-2m+1=1,
∴m2-2m=0.
∴m1=0（舍去）,m2=2.
将m=2代入原方程得2x2-5x+3=0.
解得方程的根为x1=
x2=1.
2.解:
由△>
0得（2m-3）2-4m2>
解得m<
∵
=1,即
=1,∴α+β=αβ.
又α+β=-（2m-3）,αβ=m2.
代入上式得3-2m=m2,解之m1=-3,m2=1.
∵m=1>
故舍去,
∴m=-3.
3.解:
（1）△=[-2（m+1）]2-4m2=4（m2+2m+1）-4m2=4（2m+1）<
∴m<
当m<
时,原方程没有实数根.
（2）取m=1时,原方程为x2-4x+1=0
设此方程的两实数根为x1,x2.
则x1+x2=4,x1·
x2=1.
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1·
x2=42-2×
1=14.[m取其他符合要求的值也可.]
不正确,第（3）步错.
正确的解题过程是:
∵△=32-4×
0,∴α≠β.
由一元二次方程的根与系数的关系得α+β=-3<
0,α·
β=1>
∴α<
0,β<
=-
·
=3
设队伍的速度为xkm/h,而通讯员的速度为ykm/h,则通讯员从排尾赶到排头的速度是（y-x）km/h,从排头赶到排尾的速度是（y+x）km/h,来时他以他和队伍速度之差的速度走啦skm,返回时他以和队伍速度之和的速度走了skm.由题意,得（
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