住房贷款问题模型Word下载.docx

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5.31

中长期

一至三年（含三年）

5.40

三至五年（含五年）

5.76

五年以上

5.94

四、具体的问题、模型的建立与求解

1、问题：

如果贷款10万元，10年还清。

（1）：

按等额本息还款方式月均还款额、还款总额和利息负担总和各是多少？

（2）：

按等额本金还款方式月均还款额、还款总额和利息负担总和各是多少？

（3）：

还款5年后要一次还清，第六年的还款总额是多少？

2、模型的建立

（1）、等额本息还款方式

等额本金还款，顾名思义就是每个月的还款额是固定的。

由于还款利息是逐月减少的，因此反过来说，每月还款中的本金还款额是逐月增加的。

首先，我们先进行一番设定：

设：

总贷款额＝Ａ还款次数＝Ｂ还款月利率＝Ｃ

月还款额＝Ｘ当月本金还款＝Ｙｎ（ｎ＝还款月数）

先说第一个月，当月本金为全部贷款额＝Ａ，因此：

第一个月的利息＝Ａ×

Ｃ

第一个月的本金还款额

Ｙ１＝Ｘ－第一个月的利息

＝Ｘ－Ａ×

第一个月剩余本金＝总贷款额－第一个月本金还款额

＝Ａ－（Ｘ－Ａ×

Ｃ）＝Ａ×

（１＋Ｃ）－Ｘ

再说第二个月，当月利息还款额＝上月剩余本金×

月利率

第二个月的利息＝（Ａ×

（１＋Ｃ）－Ｘ）×

第二个月的本金还款额

Ｙ２＝Ｘ－第二个月的利息

＝Ｘ－（Ａ×

第二个月剩余本金＝第一个月剩余本金－第二个月本金还款额

＝Ａ×

（１＋Ｃ）－Ｘ－（Ｘ－（Ａ×

Ｃ）

（１＋Ｃ）－Ｘ－Ｘ＋（Ａ×

（１＋Ｃ）×

（１＋Ｃ）－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

Ｘ］

（１＋Ｃ）^２－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

（1+C）^2表示（1+C）的2次方

第三个月，

第三个月的利息＝第二个月剩余本金×

第三个月的利息＝（Ａ×

Ｘ］）×

第三个月的本金还款额

Ｙ３＝Ｘ－第三个月的利息

第三个月剩余本金＝第二个月剩余本金－第三个月的本金还款额

－（Ｘ－（Ａ×

（１＋Ｃ）^２×

Ｃ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

（１＋Ｃ）

－（Ｘ＋［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

Ｘ］×

（１＋Ｃ））

（１＋Ｃ）^３　－［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

Ｘ＋（１＋Ｃ）^２×

上式可以分成两个部分

第一部分：

Ａ×

（１＋Ｃ）^３。

第二部分：

［Ｘ＋（１＋Ｃ）×

＝Ｘ×

［１＋（１＋Ｃ）＋（１＋Ｃ）^２］

通过对前三个月的剩余本金公式进行总结，我们可以看到其中的规律：

剩余本金中的第一部分＝总贷款额×

（１＋月利率）的ｎ次方，（其中ｎ＝还款月数）

剩余本金中的第二部分是一个等比数列，以（１＋月利率）为比例系数，月还款额为常数系数，项数为还款月数ｎ。

推广到任意月份：

第ｎ月的剩余本金＝Ａ×

（１＋Ｃ）^ｎ　－Ｘ×

Ｓｎ（Ｓｎ为（１＋Ｃ）的等比数列的前ｎ项和）

根据等比数列的前ｎ项和公式：

１＋Ｚ＋Ｚ２＋Ｚ３＋．．．＋Ｚｎ－１＝（１－Ｚ^ｎ）／（１－Ｚ）

可以得出

Ｘ×

Ｓｎ＝Ｘ×

（１－（１＋Ｃ）^ｎ）／（１－（１＋Ｃ））

（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／Ｃ

所以，

（１＋Ｃ）^ｎ－Ｘ×

由于最后一个月本金将全部还完，所以当ｎ等于还款次数时，剩余本金为零。

设ｎ＝Ｂ（还款次数）

剩余本金＝Ａ×

（１＋Ｃ）^Ｂ－Ｘ×

（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）／Ｃ＝０

从而得出

月还款额

Ｘ＝Ａ×

Ｃ×

（１＋Ｃ）^Ｂ÷

（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

＝总贷款额×

月利率×

（１＋月利率）^还款次数÷

[剩还款次数－１]

将Ｘ值带回到第ｎ月的剩余本金公式中

（１＋Ｃ）^ｎ－［Ａ×

（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］×

［（１＋Ｃ）^ｎ－（１＋Ｃ）^Ｂ×

（（１＋Ｃ）^ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）］

［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^ｎ］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

第ｎ月的利息＝第ｎ－１月的剩余本金×

［（１＋Ｃ）^Ｂ－（１＋Ｃ）^（ｎ－１）］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

第ｎ月的本金还款额＝Ｘ－第ｎ月的利息

（１＋Ｃ）^Ｂ／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）－Ａ×

（１＋Ｃ）^（ｎ－１）／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

总还款额＝Ｘ×

Ｂ

Ｂ×

总利息＝总还款额－总贷款额＝Ｘ×

Ｂ－Ａ

［（Ｂ×

Ｃ－１）×

（１＋Ｃ）^Ｂ＋１］／（（１＋Ｃ）^Ｂ－１）

（2）.等额本金还款方式

等额本金还款方式比较简单。

顾名思义，这种方式下，每次还款的本金还款数是一样的。

因此：

当月本金还款=总贷款数÷

还款次数

当月利息=上月剩余本金×

=总贷款数×

（1－（还款月数-1）÷

还款次数）×

月利率当月月还款额=当月本金还款＋当月利息

（1÷

还款次数＋（1－（还款月数-1）÷

月利率）

总利息＝所有利息之和

（还款次数－（１＋２＋３＋…＋还款次数－1）÷

还款次数）

其中1+2+3+…+还款次数－１是一个等差数列，其和为（1＋还款次数－１）×

（还款次数－１）／2＝还款次数×

（还款次数－１）／２

3、问题解决：

由于根据公式计算非常复杂，我们可以借助EXCEL表来计算：

（1）、等额本息还款各项为：

累计还款总额:

132,863.55元

支付息款:

32,863.55元

每期应付利息:

元

浮动后年利率:

5.9400%

还款期次

本期还款本金

本期应还利息

本期还款后剩余本金

本期还款额

1

612.19 

495.00 

99,387.81 

1,107.19 

2

615.22 

491.97 

98,772.59 

3

618.27 

488.92 

98,154.32 

4

621.33 

485.86 

97,532.99 

5

624.40 

482.79 

96,908.59 

6

627.49 

479.70 

96,281.10 

7

630.60 

476.59 

95,650.50 

8

633.72 

473.47 

95,016.78 

9

636.86 

470.33 

94,379.92 

10

640.01 

467.18 

93,739.91 

11

643.18 

464.01 

93,096.73 

12

646.36 

460.83 

92,450.37 

13

649.56 

457.63 

91,800.81 

14

652.78 

454.41 

91,148.03 

15

656.01 

451.18 

90,492.02 

16

659.25 

447.94 

89,832.77 

17

662.52 

444.67 

89,170.25 

18

665.80 

441.39 

88,504.45 

19

669.09 

438.10 

87,835.36 

20

672.40 

434.79 

87,162.96 

21

675.73 

431.46 

86,487.23 

22

679.08 

428.11 

85,808.15 

23

682.44 

424.75 

85,125.71 

24

685.82 

421.37 

84,439.89 

25

689.21 

417.98 

83,750.68 

26

692.62 

414.57 

83,058.06 

27

696.05 

411.14 

82,362.01 

28

699.50 

407.69 

81,662.51 

29

702.96 

404.23 

80,959.55 

30

706.44 

400.75 

80,253.11 

31

709.94 

397.25 

79,543.17 

32

713.45 

393.74 

78,829.72 

33

716.98 

390.21