一次函数和几何综合题7.26.doc
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一次函数与几何结合综合题
1.如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?
并求出最大值.
3.如图,直线MN与x轴,y轴分别相交于A,C两点,分别过A,C两点作x轴,y轴的垂线相交于B点,且OA,OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根.
(1)求C点坐标;
(2)求直线MN的解析式;
(3)在直线MN上存在点P,使以点P,B,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出P点的坐标.
4.如图,平面直角坐标系中,直线l分别交x轴、y轴于A、B两点(OA<OB)且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣(+1)x+=0的两个根,点C在x轴负半轴上,且AB:
AC=1:
2
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,四边形OABC是菱形,点C在x轴上,AB交y轴于点H,AC交y轴于点M.已知点A(﹣3,4).
(1)求AO的长;
(2)求直线AC的解析式和点M的坐标;
(3)点P从点A出发,以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动,到达点C终止.设点P的运动时间为t秒,△PMB的面积为S.
①求S与t的函数关系式;
②求S的最大值.
6.如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的延长线交线段BC于点P,连AP、AG.
(1)求证:
△AOG≌△ADG;
(2)求∠PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当∠1=∠2时,求直线PE的解析式.
7.(2012•桃源县校级自主招生)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,且OA=OB=1,经过原点O的直线l交线段AB于点C,过C作OC的垂线,与直线x=1相交于点P,现将直线L绕O点旋转,使交点C从A向B运动,但C点必须在第一象限内,并记AC的长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
(1)当△AOC和△BCP全等时,求出t的值;
(2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论;
(3)①设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围.
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标.
8.(2012秋•海陵区期末)如图1,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC交于点C.
(1)若直线AB解析式为y=﹣2x+12,直线OC解析式为y=x,
①求点C的坐标;
②求△OAC的面积.
(2)如图2,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;若不存在,说明理由.
9.(2012秋•成都校级期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线PA是一次函数y=x+m(m>0)的图象,直线PB是一次函数y=﹣3x+n(n>m)的图象,点P是两直线的交点,点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点.
(1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标及∠PAB的度数;
(2)若四边形PQOB的面积是,且CQ:
AO=1:
2,试求点P的坐标,并求出直线PA与PB的函数表达式;
(3)在
(2)的条件下,是否存在一点D,使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
10.如图,一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC,且使∠ABC=30°.
(1)求△ABC的面积;
(2)如果在第二象限内有一点P(m,),试用含m的代数式表示△APB的面积,并求当△APB与△ABC面积相等时m的值;
(3)是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q?
若存在,请写出点Q所有可能的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.解答题(共10小题)
1.(2013•天水)如图1,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)当点P运动到点(,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;
(3)是否存在点P,使△OPD的面积等于?
若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
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专题:
压轴题.
分析:
(1)过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.依题意得BF=OE=2,利用勾股定理求出OF,然后可得点B的坐标.设直线AB的解析式是y=kx+b,把已知坐标代入可求解.
(2)由△ABD由△AOP旋转得到,证明△ABD≌△AOP.AP=AD,∠DAB=∠PAO,∠DAP=∠BAO=60°,△ADP是等边三角形.利用勾股定理求出DP.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.利用特殊三角形边角关系求出BG,DG.然后求出OH,DH,然后求出点D的坐标.
(3)本题分三种情况进行讨论,设点P的坐标为(t,0):
①当P在x轴正半轴上时,即t>0时,关键是求出D点的纵坐标,方法同
(2),在直角三角形DBG中,可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式,即可求出DH的长,根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程,即可求出t的值.
②当P在x轴负半轴,但D在x轴上方时.即<t≤0时,方法同①类似,也是在直角三角形DBG用BD的长表示出DG,进而求出GF的长,然后同①.
③当P在x轴负半轴,D在x轴下方时,即t≤时,方法同②.
综合上面三种情况即可求出符合条件的t的值.
解答:
解:
(1)如图1,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.由已知得:
BF=OE=2,OF==,
∴点B的坐标是(,2)
设直线AB的解析式是y=kx+b(k≠0),则有.
解得.
∴直线AB的解析式是y=x+4;
(2)如图2,∵△ABD由△AOP旋转得到,
∴△ABD≌△AOP,
∴AP=AD,∠DAB=∠PAO,
∴∠DAP=∠BAO=60°,
∴△ADP是等边三角形,
∴DP=AP=.
如图2,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.
方法
(一)
在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°.
∴BG=BD•cos60°=×=.
DG=BD•sin60°=×=.
∴OH=EG=,DH=
∴点D的坐标为(,)
方法
(二)
易得∠AEB=∠BGD=90°,∠ABE=∠BDG,
∴△ABE∽△BDG,
∴;而AE=2,BD=OP=,BE=2,AB=4,
则有,解得BG=,DG=;
∴OH=,DH=;
∴点D的坐标为(,).
(3)假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于.
设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:
①当t>0时,如图,BD=OP=t,DG=t,
∴DH=2+t.
∵△OPD的面积等于,
∴,
解得,(舍去)
∴点P1的坐标为(,0).
②∵当D在y轴上时,根据勾股定理求出BD==OP,
∴当<t≤0时,如图,BD=OP=﹣t,DG=﹣t,
∴GH=BF=2﹣(﹣t)=2+t.
∵△OPD的面积等于,
∴,
解得,,
∴点P2的坐标为(,0),点P3的坐标为(,0).
③当t≤时,如图3,BD=OP=﹣t,DG=﹣t,
∴DH=﹣t﹣2.
∵△OPD的面积等于,
∴(﹣t)[﹣(2+t)]=,
解得(舍去),
∴点P4的坐标为(,0),
综上所述,点P的坐标分别为P1(,0)、P2(,0)、P3(,0)、
P4(,0).
点评:
本题综合考查的是一次函数的应用,包括待定系数法求解析式、旋转的性质、相似三角形的判定和性质、三角形面积公式的应用等,难度较大.
2.(2013•济宁)如图,直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y=x交于点C.在线段OA上,动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,同时动点P从点A出发向点O做匀速运动,当点P、Q其中一点停止运动时,另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线,交直线AB、OC于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒,在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外).
(1)求点P运动的速度是多少?
(2)当t为多少秒时,矩形PEFQ为正方形?
(3)当t为多少秒时,矩形PEFQ的面积S最大?
并求出最大值.
考点:
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专题:
压轴题.
分析:
(1)根据直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B,得出A,B点的坐标,再利用EP∥BO,得出==,据此可以求得点P的运动速度;
(2)当PQ=PE时,以及当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,分别求出即可;
(3)根据
(2)中所求得出s与t的函数关系式,进而利用二次函数性质求出即可.
解答:
解:
(1)∵直线y=﹣x+4与坐标轴分别交于点A、B,
∴x=0时,y=4,y=0时,x=8,
∴==,
当t秒时,QO=FQ=t,则EP=t,
∵EP∥BO,
∴==,
∴AP=2t,
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度;
(2)如图1,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,
则∵OQ=FQ=t,PA=2t,
∴QP=8﹣t﹣2t=8﹣3t,
∴8﹣3t=t,
解得:
t=2;
如图2,当PQ=PE时,矩形PEFQ为正方形,
∵OQ=t,PA=2t,
∴OP=8﹣2t,
∴QP=t﹣(8﹣2t)=3t﹣8,
∴t=3t﹣8,
解得:
t=4;
(3)如图1