微分方程基本理论_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

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一、一阶线性微分方程的解,二、二阶线性微分方程的解,微分方程基本理论,一阶线性微分方程的标准形式:

@#@,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;@#@,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,（使用分离变量法）,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,2.线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:

@#@,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,二阶线性微分方程解法,二阶微分方程形式如下,y+p（x）y+q（x）y=f（x）,称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f（x）称为自由项，当f（x）0时，称为二阶线性非齐次微分方程，,当f（x）恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，,定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1+C2y2,仍为该方程的解，,其中C1，C2是任意常数.,则函数,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p（x）y+q（x）y=0的两个线性无关的特解，,则,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,其中C1,C2为任意常数.,

（1）.一阶常系数线性非齐次方程的解法,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：

@#@,

（1）写出所给方程的特征方程；@#@,

（2）求出特征根；@#@,（3）根据特征根的三种不同情况，写出其通解.,1特征方程具有两个不相等的实根r1与r2，,2特征方程具有两个相等的实根，,通解为,即,通解为,3特征方程具有一对共轭复根r1=a+ib与r2=aib.,通解为,

（2）.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1自由项f（x）为多项式Pn（x）.,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn（x）,其中Pn（x）为x的n次多项式.,当原方程中y项的系数q0时，k取0；@#@,当q=0，但p0时，,k取1；@#@,当p=0，q=0时，k取2.,因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设式的特解为,其中Qn（x）与Pn（x）是同次多项式，,2自由项f（x）为Aeax型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中a，A均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中B为待定常数，,当a不是式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；@#@,当a是其特征方程单根时，取k=1；@#@,当是其特征方程重根时，取k=2.,因此，我们可以设的特解,3自由项f（x）为eax（Acoswx+Bsinwx）型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax（Acoswx+Bsinwx），,其中a，A，B均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设有特解,其中C，D为待定常数.,取k=0，,是根时，,取k=1，,代入式，求得C及D.,当a+wi不是式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,