微分方程基本理论_精品文档PPT课件下载推荐.ppt

1、一、一阶线性微分方程的解,二、二阶线性微分方程的解,微分方程基本理论,一阶线性微分方程的标准形式:#,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;#,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,（使用分离变量法）,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,作变换,2.线性非齐次方程,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:#,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,二阶线性微分方程解法,二阶微分方程形式如下,y+p（x）y+q（x）y=f（x）,称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f（x）称为自由项，当 f（x）0

2、 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,当 f（x）恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,定理 1如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，,y=C1 y1+C2 y2,仍为该方程的解，,其中 C1，C2 是任意常数.,则函数,定理 2如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y+p（x）y+q（x）y=0 的两个线性无关的特解，,则,y=C1 y1+C2 y2,是该方程的通解，,其中 C1,C2为任意常数.,（1）.一阶常系数线性非齐次方程的解法,定理 3如果函数 y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，

3、,则,二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：#,（1）写出所给方程的特征方程；#,（2）求出特征根；#,（3）根据特征根的三种不同情况，写出其通解.,1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，,2 特征方程具有两个相等的实根，,通解为,即,通解为,3 特征方程具有一对共轭复根 r1=a+ib 与 r2=a ib.,通解为,（2）.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1 自由项 f（x）为多项式 Pn（x）.,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn（x）,其中 Pn（x）为 x 的 n 次多项式.,当原方程 中 y 项的系数 q 0 时，k 取 0；#,当 q=

4、0，但 p 0 时，,k 取 1；#,当 p=0，q=0 时，k 取 2.,因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设 式的特解为,其中 Qn（x）与 Pn（x）是同次多项式，,2 自由项 f（x）为 Aeax 型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中 a，A 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中 B 为待定常数，,当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2+pr+q=0 的根时，取 k=0；#,当 a 是其特征方程单根时，取 k=1；#,当 是其特征方程重根时，取 k=2.,因此，我们可以设 的特解,3 自由项 f（x）为 eax（Acos wx+Bsin wx）型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax（Acos wx+Bsin wx），,其中 a，A，B 均为常数.,由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设 有特解,其中 C，D 为待定常数.,取 k=0，,是根时，,取 k=1，,代入 式，求得 C 及 D.,当 a+wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,