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平衡方程:

应变位移关系:

应力、应变关系:

面力边界条件:

位移边界条件:

图9.1,考虑图9.1的区域,为区域内部,为区域的边界,,其中和分别为已知位移分量的边界和已知面力分量的边界,若不考虑体力,二维弹性力学的边值问题可以表示为:

将上面的第一个方程的两边乘以基本解,并在区域上积分:

其中称为基本解,它表示单位集中力所产生的位移场,即在点有一个方向的集中力在任一点的方向所产生的位移对于面力同样如此,平面应变问题的基本解为Kelvin解,其中,,即单位力作用点(即点)到所考虑的(或点)之间的距离,为外表面的法线,是点的表面法线的方向余弦对前面的积分方程应用Green公式:

则有:

由边界条件可知,又因基本解满足方程,把上式和前面的两个边界条件代入积分方程,并把下标换成可得,故有,这就是区域内任意点的位移分量和边界上的表面力分量,位移分量之间的关系式,如果求出边界上的所有未知的面力和位移分量,区域内的任意点的位移分量都可以通过上式求出这个公式在弹性理论中叫索米格里安纳(Somigliana)恒等式,也可以用加权余量法来推导得到,上式只能用于区域内,因为当点位于边界并趋于边界上的点时,基本解会产生奇异性我们需要将上式推广到边界上,为此,以点为圆心,为半径作一圆弧(图9.2),上式可以写为:

图9.2,记,当时求的值,,因是与边界上坐标有关的量,而因而有,因方向与的方向相同,因而有,对于光滑边界,在和则有:

即:

把上式代入前面的表达式式可以得到,其中:

而表示Cauchy主值积分前一个公式即为所需的边界积分方程由此式可求出边界上的全部未知位移分量和表面力分量再由前面的积分方程式就可得到域内任一给定点的位移,一般情况下,很难用解析的方法求得边界积分方程的解,因此求助于数值解法,这就促成了边界元法的发展具体的边界元离散过程这里就不详细介绍了,值得注意的是,在计算积分时要碰到奇异积分,需要采用较有效的数值积分,以取得精确的计算结果,这方面内容在一些边界元的参考书或文献中均有专门的探讨,9.2直接边界元法的应力法,前面介绍的是Rizzo和Cruse提出的边界积分方程法,它的特点是将求解弹性体中某点的位移用边界上的位移和面力表达出来这种类型的边界积分方程在已知位移的边界上是第一类积分方程,在已知外力的边界上是第二类积分方程,经验表明,利用第二类积分方程得到的线性代数方程,对角元素的优势较强,便于数值计算为了在已知位移的边界上取得较好的数值结果,胡海昌提出了另一种边界积分方程,它将弹性体中某点的应力用边界上的位移和面力表达出来,这样得到的边界积分方程在已知位移的边界上是第二类积分方程,在已知外力的边界上是第一类积分方程,所提出的边界积分方程与Rizzo型边界积分方程在积分方程的类型上正好互为补充,我们称为应力型边界积分方程我们仍从弹性力学的基本方程出发:

边界上的平衡条件为:

应变能密度为:

如果和严格满足前面几个方程,则称它们为一组精确对应的弹性力学状态,对于精确状态分别沿和求导数,就可以得到两组精确状态,在此要注意,并不是由直接求导得出,而是由平衡条件得出的对于原精确状态和上式中的一组精确状态,由虚功原理可得到:

由前面二个公式可得:

由此可得:

由上两式可以得到:

上式是弹性力学平面问题的守恒积分,亦称单场守恒积分下面推导分布载荷情况下的双场守恒积分设,为两个精确的力学状态,考虑它们的线性组合:

其中为任意常数,显然,这也是一组精确状态现在将这个状态代入前式,由于上式是的恒等式,考虑两边的各项次数:

将上式展开后,比较二边的同次数项,对于常数项,项和项有:

显然,前两式就是两个状态的单场守恒积分,是恒等式,由于是任意取的,因此,第三式也是恒等式因为它对应着两组精确状态,所以称之为双场守恒积分显然有:

因此,第三式可化为:

在上述双场守恒积分式中的两组状态分别取为待定解和基本解,基本解表示弹性体在点承受方向的单位集中力时的解,,其中为Kronecker符号,是奇点在点Dirac函数,这样,上述双场守恒积分式可写为:

将代入:

这就得到了用区域边界积分表示的区域内位移导数的表达式我们以平面应变问题为例将上式作进一步整理先处理:

展开下式:

在区域边界上,而,将此两式代入前式然后再代入再前一式:

同理可得:

将此两式代入弹性平面应变的本构关系,可得到应力的表达式,,与位移边界积分方程相同,当在边界上时,可以从前面的位移公式导出下列边界积分方程:

由于基本解和待定解的互换性,此两式也可以写成,将此两式或前两式代入弹性平面应变的本构关系,可得到边界应力的表达式,,再经过一系列数学运算后可化为:

其中:

前面两式就是要求的弹性力学平面应变问题的应力边界积分方程用边界上离散的方法可以从已知的位移和应力求出未知的应力和位移再从前面的公式求出域内的应力这种边界元的应用实例可参阅有关的文献,在边界元法中还有间接法因为在每一段边界上只能给出一部分边界值,另一部分边界值为待求量,如果先根据已知的边界值求出解答,再由所得解求未知的边界值,也即基本方程中不包括未知的边界值,则称为间接法在前面所讲的直接法中,将未知的边界值列入基本方程一次解出,故称为直接法当前直接法用得较多,间接法用得很少,所以,这里就不再介绍间接法了,

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