一元二次方程提高培优.doc
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1、一元二次方程的一般式：
，为二次项系数，为一次项系数，为常数项。
2、一元二次方程的解法
（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）
①解为：
②解为：
③解为：
④解为：
（2）因式分解法：
提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法
如：
此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0
注意：
提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。
十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。
（3）配方法
①二次项的系数为“1”的时候：
直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示：
示例：
②二次项的系数不为“1”的时候：
先提取二次项的系数，之后的方法同上：
示例：
备注：
实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
（4）公式法：
一元二次方程，用配方法将其变形为：
①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
③当时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：
虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：
公式法解方程的步骤：
①把方程化成一般形式：
一元二次方程的一般式：
，并确定出、、
②求出，并判断方程解的情况。
③代公式：
（要注意符号）
备注：
一元二次方程的解题步骤：
①首先看方程中是否可以同时除以或者乘以一个非零的数，使得方程更加方便计算：
如：
（同除于10）这样更加方便计算。
（同乘于，这样二次项的系数为正整数，更方便计算）
②四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意义，是否所有的根都是方程的解。
3、一元二次方程的根与系数的关系
法1：
一元二次方程的两个根为：
所以：
，
定理：
如果一元二次方程定的两个根为，那么：
法2：
如果一元二次方程定的两个根为；那么
两边同时除于，展开后可得：
；
法3：
如果一元二次方程定的两个根为；那么
②
①
①②得：
（余下略）
常用变形：
，，，
，，
等
练习：
【练习1】若是方程的两个根，试求下列各式的值：
（1）；
（2）； （3）； （4）．
【练习2】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．
（1）方程两实根的积为5；
（2）方程的两实根满足．
【练习3】已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数，使成立？
若存在，求出的值；若不存在，
请您说明理由．
（2）求使的值为整数的实数的整数值．
4、韦达定理相关知识
（1）若一元二次方程有两个实数根，那么，。
我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。
（2）如果一元二次方程的两个根是，则，。
（3）以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
（4）在一元二次方程中，有一根为0，则；有一根为1，则；有一根为，则；若两根互为倒数,则；若两根互为相反数，则。
（5）二次三项式的因式分解（公式法）
在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解。
5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨
的两个根为，那么：
（1）的两个根为：
，（原因留给大家自行思考）
例1：
先求出方程：
的两根为：
，故原方程的根为：
（2）的两个根为：
，
例2：
先解得方程：
的两根为：
，所以原方程的两个解为：
6、应用题
（1）平均增长率的问题：
其中：
为基数，为增长率，表示连续增长的次数，
表示增长后的数量。
（2）面积问题：
注意平移思想的使用
7、换元法例：
解：
令则原方程可化为：
解得：
①当时，求得：
②当时，求得：
（原方程共有4个解）练习：
考点精析
考点一、概念
（1）定义：
①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
（2）一般表达式：
⑶难点：
如何理解“未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
AB
C D
变式：
当k时，关于x的方程是一元二次方程。
例2、方程是关于x的一元二次方程，则m的值为。
针对练习：
★1、方程的一次项系数是，常数项是。
★2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）
A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：
使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：
利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为。
说明：
任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为。
说明：
本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数
式的值。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为。
针对练习：
★1、已知方程的一根是2，则k为，另一根是。
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值；
⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程的一个根，则代数式。
★★4、已知是的根，则。
★★5、方程的一个根为（）
AB1CD
★★★6、若。
考点三、解法
⑴方法：
①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：
降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程：
=0;
例2、解关于x的方程：
例3、若，则x的值为。
针对练习：
下列方程无解的是（）
A.B.C.D.
类型二、因式分解法:
※方程特点：
左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：
如，，
典型例题：
例1、的根为（）
ABCD
例2、若，则4x+y的值为。
变式1：
。
变式2：
若，则x+y的值为。
变式3：
若，，则x+y的值为。
例3、方程的解为（）
A.B.C.D.
例4、解方程：
例5、已知,则的值为。
变式：
已知,且,则的值为。
针对练习：
★1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
②.
③
④
⑤方程可变形为
正确的有（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（）
A．B．
C． D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（）
A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或2
5、方程：
的解是。
★★★6、已知，且，，求的值。
★★★7、方程的较大根为r，方程
的较小根为s，则s-r的值为。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、试用配方法说明的值恒大于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3、已知为实数，求的值。
例4、分解因式：
针对练习：
★★1、试用配方法说明的值恒小于0。
★★2、已知，则.
★★★3、若，则t的最大值为，最小值为。
★★★4、如果,那么的值为。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式：
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴⑵⑶
⑷⑸
说明：
解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式
法；一般不选择配方法。
例2、在实数范围内分解因式：
（1）；
（2）.⑶
说明：
①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成
=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、“降次思想”的应用
⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
说明：
在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：
①能对已知式进
行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次
幂，最后求解。
例4、用两种不同的方法解方程组
说明：
解二元二次方程组的具体思维方法有两种：
①先消元，再降次；②先降次，再
消元。
但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）
A.B.C.D.
例3、已知关于x的方程
（1）求证：
无论k取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
说明：
若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式
即：
若，则二次三项式为完全平方式；反之，若
为完全平
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