一元一次不等式知识点.doc

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一元一次不等式

重点：

不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：

一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：

不等式的概念

1.不等式：

　　用“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

　　要点诠释：

（1）不等号的类型:

　　　　①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

　　　　②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

　　　　③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

　　　　④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

　⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

（2）等式与不等式的关系：

等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

　　（3）要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

　　能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

　　要点诠释：

　　由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

　　一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：

不等式x－4＜1的解集是x＜5.不等式的解集与不等式的解的区别:

解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:

解集包括解,所有的解组成了解集。

　　要点诠释：

　　不等式的解集必须符合两个条件：

（1）解集中的每一个数值都能使不等式成立；

（2）能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：

不等式的基本性质

　　基本性质1：

不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。

　　　　　　　符号语言表示为：

如果，那么。

　　基本性质2：

不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

　　　　　　　符号语言表示为：

如果，并且，那么（或）。

　　基本性质3：

不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

　　　　　　　符号语言表示为：

如果，并且，那么（或）

　　要点诠释：

（1）不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

（2）要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

　　（3）“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

　　（4）运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘（除）同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：

一元一次不等式的概念

　　只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

　　要点诠释：

（1）一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

　　　①左右两边都是整式（单项式或多项式）；②只含有一个未知数；

　　　③未知数的最高次数为1。

（2）一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

　　　相同点：

二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：

一元一次不等式表示不等关系（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接），一元一次方程表示相等关系（用“＝”连接）。

知识点四：

一元一次不等式的解法

1.解不等式：

　　求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

　　与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：

（1）去分母；

（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.

　　要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

　　在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

　　要点诠释：

　　在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：

有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：

大向右，小向左

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

　　1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。

（性质2、3要倍加小心）

　　2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

　　3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：

（1）去分母；

（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。

但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

　　　　　　　　　　解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

变形名称

具体做法

注意事项

去分母

在不等式两边同乘以分母的最小公倍数

（1）不含分母的项不能漏乘

（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号

（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。

去括号

根据题意，由内而外或由外而内去括号均可

（1）运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项

（2）如果括号前是“—”号，去括号时，括号内的各项要变号

移项

把含未知数的项都移到不等式的一边（通常是左边），不含未知数的项移到不等式的另一边

移项（过桥）变号

合并同类项

把不等式两边的同类项分别合并，把不等式化为或的形式

合并同类项只是将同类项的系数相加，字母及字母的指数不变。

系数化1

在不等式两边同除以未知数的系数，若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；若且，则不等式的解集为；

（1）分子、分母不能颠倒

（2）不等号改不改变由系数的正负性决定。

（3）计算顺序：

先算数值后定符号

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：

一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

　　5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

　　6、常见不等式的基本语言的意义：

（1），则x是正数；　　　　　

（2），则x是负数；

　　　（3），则x是非正数；　　　　（4），则x是非负数；

　　　（5），则x大于y；　　　（6），则x小于y；

　　　（7），则x不小于y；　　　　（8），则x不大于y；

　　　（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

　　　（11）x，y都是正数，若，则；若，则；

　　　（12）x，y都是负数，若，则；若，则

一元一次不等式组

知识点一：

一元一次不等式组

　　由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。

如：

，。

要点诠释：

　　在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：

（1）不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；

（2）在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。

知识点二：

一元一次不等式组的解集

　　组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.

要点诠释：

（1）求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个

　　　不等式解集的区域都覆盖的部分。

（2）用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：

知识点三：

一元一次不等式组的解法

　　求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

解一元一次不等式组的一般步骤为：

（1）分别解不等式组中的每一个不等式；

（2）将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；

　　（3）根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集（若没有公共部分，说明这个不等式组无解）.

要点诠释：

　　用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：

大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。

知识点四：

利用不等式或不等式组解决实际问题

　　列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即

（1）审：

认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：

设出适当的未知数；

　　（3）找：

找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不

　　　　超过”“超过”等关键词的含义；

　　（4）列：

根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；

　　（5）解：

解出所列的不等式或不等式组的解集；

　　（6）答：

检验是否符合题意，写出答案。

三、规律方法指导

知识要点

总结

注意问题

1．一元一次不等式组的解法

2．一元一次不等式组的应用

1．一元一次不等式组的解题步骤：

①先整理一元一次不等式组；

②分别求两个不等式的解集；

③利用数轴找到解集的公共部分；

④写出不等式组的解集

2．一元一次不等式组的应用：

①先根据题意列出一元一次不等式组；

②解这个一元一次不等式组；

③根据实际意义找出符合题意的相关整数解；

④下结论．

1．解不等式组时，容易出现两个解集不符合符号方向的错误

2．利用数轴来确定解集时，两个端点处是空心还是实心容易出现错误

3．利用一元一次不等式组解决实际问题时，容易忽视实际问题的意义

解题方法总结

1．能利用数轴找解集的尽可能应用

2．利用数轴找整数解应找全面