高三第一轮复习双曲线.docx

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高三第一轮复习双曲线

双曲线

一、教学目的

1•理解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，会求双曲线的标准方程；

2•理解双曲线的有关几何性质；

3•灵活运用双曲线的概念、标准方程和几何性质解决相关问题.

二、知识点梳理

1双曲线的定义

（1）双曲线的第一定义：

平面内到两定点Fi,F2的距离的差的绝对值为常数（小于

F1F2I）的动点的轨迹叫双曲线，即||MF!

-MF2II=2a.这两个定点叫做的双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距•当2a:

:

2c时，轨迹是双曲线；当2a=2c时，轨迹是两条射线；当2a>2c时，轨迹不存在.（2c=F1F2I）

（2）双曲线第二定义：

平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常

数e（e.1）的点的轨迹叫做双曲线.定点叫双曲线焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数叫双曲线离心率.

2.双曲线的标准方程与几何性质

标准方程

22

2,2—1（a,bnO）

ab

22

2.2—1（a,ba0）

ab

性

质

焦占

八、、八、、

（c,0），（-c,0）

（0,c），（0,-c）

焦距

2c

范围

|x|^a,yeR

|y底a,x^R

顶点

（a,0），（-a,0）

（0,a）,（0,-a）

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

离心率

c

e=—€（1,母）

a

准线

2

+a

x=主—

c

2

+ay=空

c

渐近线

.by=±_xa

y=±亘x

b

3•共轭双曲线

2222

双曲线笃-爲=1的共轭双曲线为笃-爲=-1.

a2b2a2b2

4•双曲线的焦半径（RE分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）

焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

严1|半+%，

|MF?

=a-exo.

焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式』MFi二a+ey。

，

（［MF?

=|a-ey。

•

21

焦点三角形的面积：

S=b,$：

=/FiMF2.

tan—

2

三、讲练结合

题型一双曲线的定义

2

【例1】设P是双曲线务

a

2

--1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1、

9

C.7

22

【例2】点A（xo,yo）在双曲线乡-知1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则

学习资料收集于网络，仅供参考

【同步练习】

2

1•设P为双曲线X2一丫1上的一点F2是该双曲线的两个焦点，若

12

PFi|:

PF2=3:

2，则△PF1F2的面积为（）

A.6、3B.12C.12、3D.24

M、N点，与双曲线

Xy

2.直线MN与双曲线C:

二2=1（a0,b0）的左右支分别交于

ab

的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|,又NP—PM（…R），则实数

-的值为（

C.

题型二双曲线的标准方程

22

【例3】已知双曲线C与双曲线——乞=1有公共焦点，且过点（3=2，2）.求双曲线164

C的方程.

【例4】已知双曲线的渐近线方程是y，焦点在坐标轴上且焦距是10,求此双曲线

的方程.

【同步练习】

22

3.已知双曲线笃-爲=1（a0,b■0）的一条渐近线方程是y=〒3x，它的一个焦点在抛

ab

物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）

A.

2x

2

y

=1

B.

2x

2

丄=1

36

108

9

27

2

2

2

2

C.

x

y_

=1

D.

x

-y=1

108

36

27

9

22

4.已知点P（3，-4）是双曲线务-与=1（a0，-0）渐近线上的一点，E,F是左、右两个焦ab

占

八、、）

若EP

•FP=0-

则双曲线方程为（

）

2

2

2

2

A.

x

y

=1

B.

x

-y=1

3

4

4

3

2

2

2

2

C.

x

y

=1

D.

x

-y=1

9

16

16

9

5.已知圆C:

x2•y2-6x-4y•8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条

件的双曲线的标准方程为.

6.以抛物线y2=8・、3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x—、3y=0的双曲线方程为

7.已知双曲线C:

笃-爲=1（a0,b■0）的离心率为.3，右准线方程为.

ab3

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线x-y•m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2y2=5上，求m的值.

线的离心率为（）

B.5

2=

y2=1a0,b0的右焦点为F，过F且斜率为、、3的直线

2

【例6】已知双曲线cA

ab

交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）

B.7

5

2

【例7】已知双曲线务-%=1,（a0,b0）的左，右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线

ab

的右支上，且|PFi|=4|PF?

|，贝吐匕双曲线的离心率e的最大值为

【同步练习】

22

8.

，则该双曲线的离心率e为

已知双曲线-丄=1的一条渐近线方程为

x2

9.已知双曲线一2

a

mn

=1（a0,b0）的右顶点为E，双曲线的左准线与该双曲线的两

渐近线的交点分别为A、B两点，若.AEB=60，则该双曲线的离心率e是（）

22

10.已知点F是双曲线y^=1a0,b0的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，ab

过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于AB两点，△ABE是锐角三角形，则该

双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,+〜B.（1,2）C.（1,1+、.2）D.（2,1+、、2）

题型四直线与双曲线的位置关系

【例8】过双曲线2x2-y2=2的右焦点作直线I交双曲线于AB两点，若AB=4,贝U这

样的直线有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【例9】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为2,0，右顶点为3,0.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线l:

y二kx「2与双曲线恒有两个不同的交点A和B且OA.2（其中O为原点），求k的取值范围.

【同步练习】

13•已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F=3,0，—条渐近线m：

x；2y=0,

设过点A（32,0）的直线|

的方向向量e=：

［1，k.

（1）求双曲线C的方程；

（2）若过原点的直线a//l，且a与l的距离为.6，求k的值；

（3）证明：

当k「°时，在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.

2

四、课后练习

（一）选择题

22

1.以双曲线—-y1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）

916

2222

A.xy-10x9=0B.xy-10x16=0

C.X2y210x16=0D.x2y210x9=0

2

2.过点（2，-2）且与双曲线乡-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（）

2

A.y-

2

x彳=1

22

B.x-y=1

22

C.y-x=1

x2

D.—-

2

y

=1

2

4

42

4

2

4

3.若双曲线

2

x2

y

1

二1上的点到左准线的距离是到左焦点距离的-，

则m等于（

）

m

3

1

3

小1

9

A.-

B.-

C

D.

2

2

8

8

22

4.若双曲线“2-与=1（a0,b0）的焦点到渐近线的距离等于实轴长，贝U双曲线的离

ab

心率为（）

A.、、2B.3

C..5D.2

5.设a1，则双曲线

2

誥厂1的离心率e的取值范围是（

A.（2,2）

C.（2,5）

D.

（2,5）

2

6.曲线

10-m6-m

=1（m：

：

：

6）与曲线

2

+丄=1（5cnv9）的（

5-n9-n

x2

A.焦距相等

C.离心率相等

B.焦点相同

D.以上都不对

22

7.过点P（3,4）与双曲线C「計1只有一个交点的直线的条数为（）

C.2

D.1

2222

8.已知椭圆亍古十b0）与双曲线和一补1（m0,n0）有相同的焦点

（-c,0和（c,0）（c0），若c是a,m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆

的离心率是（

B.2

C.-

（二）填空题

2

9.已知双曲线务

a

222

b2'的离心率为2,焦点与椭圆盒弋「的焦点相同，那么双曲

线的焦点坐标为；渐近线方程为

22

10.过双曲线笃-岭=1（a0,b0）的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于

ab

M,N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率

为.

11.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为（3,0），且焦距与虚轴长之比为5:

4，则

双曲线的标准方程是

22

12.在平面直角坐标系xOy中，双曲线—--1上一点M，点M的横坐标是3,则M

412

到双曲线右焦点的距离是.

2

13.已知双曲线x2_y1的左顶点为A,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点，则paPF2

3

最小值为.

（三）解答题

2222

14.已知椭圆二•爲=1和双曲线二-丄=1有公共的焦点.

3m5n2m3n

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）直线I过焦点且垂直于x轴，若直线I与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为3，求双曲线的方程.

4

15.已知直线y=ax•1与双曲线3x2-y2=1交于A、B点.

（1）求a的取值范围；

（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；

（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=^x对称？

若存在，求出a

2

的值；若不存在，说明理由.

参考答案

三、讲练结合

题型一双曲线的定义

【例1】C

a二_2,.||PF!

|-|PF2||=4，|PF?

|=_4•|PR|.

；|PFi1=3,|PF2|0,|PF21=7.故选C.

［例2】2

解析：

由方程，得a=2,b=4\2,c=6.

2

二该双曲线的离心率为e=3，右准线为x=-

3

2

•••Agyo）到右准线的距离为r.

题型二双曲线的标准方程

又•••a2+b2=（2、5）2,二a2=12,b2=8.

学习资料收集于网络，仅供参考

【例4】解：

设双曲线方程为X?

—4y2「，

2222

综上，双曲线方程为才S1或「金"

题型三双曲线的几何性质