第六讲几何图形的计数问题Word格式文档下载.docx

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算式为4＋3＋2＋1＝10。

　　图6－1（e）中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；

这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；

然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；

再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；

最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。

所以图6－1（e）中共有15条线段。

算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。

　　将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。

　　另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。

　　依此类推，可得：

　　任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n－4条。

　　任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n－5条。

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　　任意相邻n－2条小线段连起来组成的新线段，共有

　　（n－（n－2）＝）2条。

　　最后相邻的n－1条小线段连起来组成1（＝n－（n－1））条新线段。

　　此时，线段的总条数为

　　（n－1）＋（n－2）＋……＋2＋1

　　这样便得到如何数类似图6－1中线段总条数的公式：

　　当一条线段上共n个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：

　　1＋2＋…＋（n－1）①

　　即线段总条数为从1开始的（n－1）个连续自然数的和。

　　把图6－1稍加变化，可得图6－2。

图6－2各图中的三角形有下面两个特点：

一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。

　　图6－2（a）、（b）、（c）中三角形的个数与底边的个数一样多。

即图6－2（a）中三角形的个数有6个（6＝1＋2＋3），图6－2（b）中三角形的个数有10个（1＋2＋3＋4＝10）。

图6－2（c）中三角形的个数有15个（1＋2＋3＋4＋5＝15）。

　　这说明公式①还可以用来数类似于图6－2中三角形的总个数。

　　另外公式①还可以用来数如图6－3中锐角的总个数，即从锐角AOB的顶点O，在其内部引n－1条射线，此时图中锐角的总个数也是：

　　1＋2＋…＋（n－1）＋n

　　2．数长方形的公式

　　先看图6－4中有多少个长方形（图中ABCD是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都平行于AB）。

　　这个问题与数线段有十分密切的关系。

由公式知道：

AB边上共有（1＋2＋3＋4＋5＝）15条线段；

AD边上共有（1＋2＋3＝）6条线段。

把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图6－4中长方形的总数为

　　（1＋2＋3＋4＋5）×

（1＋2＋3）

　　一般情况下，如果有类似于图6－4的任一长方形，一边上有n＋1个点，其相邻一边上有m＋1个点（m、n是自然数）；

相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等。

过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：

　　（1＋2＋…＋n）×

（1＋2＋…m）②

　　利用公式②还可以计算图6－5（a）、（b）中平行四边形和梯形的总数。

　　3．数正方形的公式

　　分别数出图6－6中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）。

　　为方便起见，我们假定每个小方格的边长为1个长度单位。

　　图6－6（a）中大正方形边长为2个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（2×

2）＝4个，边长为2个长度单位的正方形有1个。

所以，正方形总数为

　　1×

1＋2×

2＝5（个）

　　图6－6（b）中大正方形边长为3个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（3×

3＝）9个，边长为2个长度单位的正方形有（2×

2＝）4个，边长为3个长度单位的正方形有1个。

所以，正方形的总数为

2＋3×

3＝14（个）

　　图6－6（c）中大正方形边长为4个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（4×

4＝）16个，边长为2个长度单位的正方形有（3×

3＝）9个，边长为3个长度单位的正方形有（2×

2＝）4个，边长为4个长度单位的正方形有1个。

3＋4×

4＝30（个）

　　图6－6（d）中大正方形边长为5个长度单位。

其中边长为1个长度单位的正方形有（5×

5＝）25个，边长为2个长度单位的正方形有（4×

4＝）16个，边长为3个长度单位的正方形有（3×

3＝）9个，边长为4个长度单位的正方形有（2×

2＝）4个，边长为5个长度单位的正方形有1个。

4＋5×

5＝55（个）

　　一般而言，如果类似图6－6中大正方形边长为n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形有（n×

n＝）n2个，边长为2个长度单位的正方形有（n－1）×

（n－1＝）即（n－1）2个，…，边长为n－2个长度单位的正方形有（3×

3＝）9个，边长为n－1个长度单位的正方形有（2×

2＝）4个，边长为n个长度单位的正方形有1个。

所以，如果类似图6－6的大正方形各边上都有n个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为

　　12＋22＋32＋…＋n2 

③

二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用

例1 

图6－7中共有多少个三角形？

分析与解：

将图6－7旋转一下，应添上字母得图6－8。

在图6－8中，线段AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式①，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）。

　　仔细观察便可发现，除了上面那56个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个。

这一来，图中三角形的总个数为

　　（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×

2＋7＝63（个）

　　注意：

在计数时，千万不要把三角形ACD等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”。

例2 

图6－9中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？

为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。

　　先看正中间部分。

中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式③计算，共有（12＋22＋32＋42＋52＋62＝）91个正方形。

　　再看上下部分。

因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有3个正方形，上下部分合起来应添（（2＋1）×

2＝）6个正方形。

　　最后再看左、右部分，因为图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。

左边那部分除了6个小正方形外，还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。

左、右部分合起来应再添（（6＋4＋2＋1）×

2＝）26个正方形。

　　把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案。

图6－9中共有正方形。

　　91＋6＋26＝123（个）

例3 

图6－10中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？

为方便起见，把图6－10各顶点和交点标上字母，得图6－11。

把图6－11先分成内外两层。

　　按前面提到的公式②，长方形ABCD与A1B1C1D1中各有（（1＋2＋3＋4）×

（1＋2＋3）＝）60个长方形。

　　再看上面，夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（60×

2＝）120个长方形外，再添加刚才提到的（6×

2＝）12个长方形。

　　再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。

同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。

所以应在刚才所提及的长方形外，再添加刚才提到的（2×

2＝）4个长方形。

　　另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形。

　　把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那3个长方形，便是题目的结果。

故图6－10中长方形的总数为

　　60×

2＋6×

2＋2×

2－3＝133（个）

　　做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”。

为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则。

1．图6－12的各图中各有多少条线段？

　　2．图6－13的各图中各有多少个三角形？

　　3．图6－14的各图中各有多少个锐角？

4．数一数图6－15中有多少个三角形？

　　5．图6－16的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）

　　6．图6－17的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？

　　7．数一数图6－18中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？

　　8．数一数图6－19中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？