第六讲几何图形的计数问题Word格式文档下载.docx

1、算式为432110。图61（e）中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。所以图61（e）中共有15条线段。算式为5432115。将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n1条小线段，这n1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线

2、段共有n2条。另外，这n1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n3条。依此类推，可得：任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n4条。任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n5条。任意相邻n2条小线段连起来组成的新线段，共有（n（n2）2条。最后相邻的n1条小线段连起来组成1（n（n1）条新线段。此时，线段的总条数为（n1）（n2）21这样便得到如何数类似图61中线段总条数的公式：当一条线段上共n个点（包括两个端点）时，这条线段上线段总条数为：12（n1） 即线段总条数为从1开始的（n1）个连续自然数的和。把图61稍加变化，可得图62。图62各图中的三

3、角形有下面两个特点：一是所有三角形有一个共公的顶点，二是所有三角形的底边都在同一条直线上。图62（a）、（b）、（c）中三角形的个数与底边的个数一样多。即图62（a）中三角形的个数有6个（6123），图62（b）中三角形的个数有10个（123410）。图62（c）中三角形的个数有15个（1234515）。这说明公式还可以用来数类似于图62中三角形的总个数。另外公式还可以用来数如图63中锐角的总个数，即从锐角AOB的顶点O，在其内部引n1条射线，此时图中锐角的总个数也是：12（n1）n2数长方形的公式先看图64中有多少个长方形（图中ABCD是一个长方形，长方形内每条竖线都平行于BC，每一条横线都

4、平行于AB）。这个问题与数线段有十分密切的关系。由公式知道：AB边上共有（12345）15条线段；AD边上共有（123）6条线段。把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形（包括正方形），所以图64中长方形的总数为（12345）（123）一般情况下，如果有类似于图64的任一长方形，一边上有n1个点，其相邻一边上有m1个点（m、n是自然数）；相邻两点间的距离可以相等，也可以不相等。过这些点分别做对边的平行线，与另一边相交，这些平行线将原长方形分割成许多长方形，此时图中长方形的总数为：（12n）（12m） 利用公式还可以计算图65（a）、（b）中平

5、行四边形和梯形的总数。3数正方形的公式分别数出图66中各图内的所有正方形的个数（图中每个小格都是正方形）。为方便起见，我们假定每个小方格的边长为1个长度单位。图66（a）中大正方形边长为2个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（22）4个，边长为2个长度单位的正方形有1个。所以，正方形总数为11225（个）图66（b）中大正方形边长为3个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（33）9个，边长为2个长度单位的正方形有（22）4个，边长为3个长度单位的正方形有1个。所以，正方形的总数为23314（个）图66（c）中大正方形边长为4个长度单位，其中边长为1个长度单位的正方形有（44）16

6、个，边长为2个长度单位的正方形有（33）9个，边长为3个长度单位的正方形有（22）4个，边长为4个长度单位的正方形有1个。34430（个）图66（d）中大正方形边长为5个长度单位。其中边长为1个长度单位的正方形有（55）25个，边长为2个长度单位的正方形有（44）16个，边长为3个长度单位的正方形有（33）9个，边长为4个长度单位的正方形有（22）4个，边长为5个长度单位的正方形有1个。45555（个）一般而言，如果类似图66中大正方形边长为n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形有（nn）n2个，边长为2个长度单位的正方形有（n1）（n1）即（n1）2个，边长为n2个长度单位的正方形

7、有（33）9个，边长为n1个长度单位的正方形有（22）4个，边长为n个长度单位的正方形有1个。所以，如果类似图66的大正方形各边上都有n个彼此相等的小格，那么图中正方形的总数为122232n2二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用例1图67中共有多少个三角形？分析与解：将图67旋转一下，应添上字母得图68。在图68中，线段AB将整个图形分为上、下两部分，利用前面的分式，马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是：123456728（个）。仔细观察便可发现，除了上面那56个三角形外，还有下列三角形，它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD，共七个。这一来，图中三角形的总

8、个数为（1234567）2763（个）注意：在计数时，千万不要把三角形ACD等给遗漏了，这是数图形中一个很重要的问题或原则，简称为“不漏”。例2图69中有多少个正方形（图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形）？为方便起见，我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。先看正中间部分。中间部分是每边有六个相等小格的正方形，按前面提到公式计算，共有（122232425262）91个正方形。再看上下部分。因为图形上、下部分是对称的，所以可只看上部分，上部分除了两个小正方形外，还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形，一共有3个正方形，上下部分合起来应添（21）2）6个正方形。最后再看左、右部分，因为

9、图形左右也是对称的，所以可只看左边那部分。左边那部分除了6个小正方形外，还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形，2个由九个小正方形拼成的较大的正方形，1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。左、右部分合起来应再添（6421）2）26个正方形。把上述三部分正方形的个数加起来，就得到了问题的答案。图69中共有正方形。91626123（个）例3图610中有多少个长方形（图中所有横线彼此平行，所有竖线彼此平行，且外面的四边形是个长方形）？为方便起见，把图610各顶点和交点标上字母，得图611。把图611先分成内外两层。按前面提到的公式，长方形ABCD与A1B1C1D1中各有（1234）（123）60

10、个长方形。再看上面，夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中，另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中，同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中，所以应在内外两层（602）120个长方形外，再添加刚才提到的（62）12个长方形。再看左边，和刚才讨论上面情况一样，应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。所以应在刚才所提及的长方形外，再添

11、加刚才提到的（22）4个长方形。另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1，在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时，这三个长方形都计算了一次，因此重复了，故在计算总数时，应减去这重复的三个长方形。把上面三种情况所得出的长方形个数相加，然后减去重复的那3个长方形，便是题目的结果。故图610中长方形的总数为60262223133（个）做此题时，有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形，所以在数图形个数时，不但要避免遗漏也要避免重复，这也是数图形中一个很重要的问题或原则，简称“不重”。为了避免犯这两个错误，以后在数简单图形个数时，一定要记住“不重不漏”的原则。1图612的各图中各有多少条线段？2图613的各图中各有多少个三角形？3图614的各图中各有多少个锐角？ 4数一数图615中有多少个三角形？5图616的各图中各有多少个长方形（图（a）和图（b）最外边的四边形都是一个长方形，另外，两图中所有横线段彼此平行，所有竖线段彼此平行）6图617的各图中有多少个正方形（图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形）？7数一数图618中有多少个平行四边形（图中最外边的四边形是平行四边形，另外横线段彼此平行，斜线段也彼此平行）？8数一数图619中有多少个梯形（图中最外层的四边形是梯形，另外的所有横线段彼此平行，斜线段彼此都不平行）？