《一元二次方程》复习提纲.doc

《一元二次方程》复习提纲.doc

《《一元二次方程》复习提纲.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《一元二次方程》复习提纲.doc（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

《一元二次方程》复习提纲

一，知识结构梳理

（1）含有个未知数。

（2）未知数的最高次数是

1、概念 （3）是方程。

（4）一元二次方程的一般形式是。

（1）法，适用于能化为的一元二次方程。

一元二次方程

（2）法，即把方程变形为ab=0的形式，

2、解法（a，b为两个因式）,则a=0或

（3）法

（4）法，其中求根公式是

（5）法

当时，方程有两个不相等的实数根。

（6）当时，方程有两个相等的实数根。

当时，方程有没有的实数根。

可用于解某些求值题

（1）

一元二次方程的应用

（2）

（3）

可用于解决实际问题的步骤（4）

（5）

（6）

二，知识点归类

（一）建立一元二次方程模型

1，一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：

一元二次方程必须同时满足以下三点：

①方程是整式方程。

②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）；（5）

答案：

（2），（4）

2，一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。

其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：

（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

例：

（2012广安中考试题第8题，3分）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A．a>2 B．a<2 C．a<2且a≠1 D．a<-2

思路导引：

一元二次方程有两个不相等的实数根，由于二次项系数是字母的代数式形式，注意两点，一是二次项系数不等于0，二是根的判别式大于0

解析：

△=4－4（a－1）×1=8－4a＞0，所以a＜2，结果选C。

点评：

含有字母二次项系数的一元二次方程根的判别问题，不可忽视二次项系数不为0这一条件，以免得出不和题意的答案

3，一元二次方程的解

使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：

当时，所以是方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例．（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）

　 A． 1 B． ﹣1 C． 0 D．无法确定

考点：

一元二次方程的解；一元二次方程的定义。

解：

根据题意，将x=1代人到方程中得：

（m﹣1）+1+1=0，

解得：

m=﹣1．

故选B．

4，建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：

审题、设未知数、列方程。

注意：

（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；

（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例：

（2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为.

【解析】由题意得（22-x）（17-x）=300.

【答案】（22-x）（17-x）=300

【点评】本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别

平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个

长方形，根据长方形的面积公式列方程．

（二）因式分解法、直接开平方法

1，因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为0；

（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。

（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：

（1）要将方程右边化为0；

（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：

提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例．（2012铜仁）一元二次方程的解是．

考点：

解一元二次方程-因式分解法。

解：

原方程可化为：

（x﹣3）（x+1）=0，

∴x1=3，x2=﹣1．

2，直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；

（2）的解是；（3）的解是。

例：

（2011山东淄博14，4分））方程x2﹣2=0的根是　．

分析：

这个式子先移项，变成x2=2，从而把问题转化为求2的平方根，直接得出答案即可．

解：

移项得x2=2，

∴x=．

故答案为：

．

点评：

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

3，灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例（2011，台湾省，29,5分）若方程式（3x﹣c）2﹣60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？

（　　）

A、1 B、8 C、16 D、61

分析：

利用平方根观念求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可．

解：

（3x﹣c）2﹣60=0（3x﹣c）2=60

3x﹣c=±3x=c±x=

又两根均为正数，且＞7．

所以整数c的最小值为8故选B．

点评：

本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．

4，用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

例（2011浙江衢州，11，4分）方程x2﹣2x=0的解为　　．

分析：

把方程的左边分解因式得x（x﹣2）=0，得到x=0或x﹣2=0，求出方程的解即可．

解：

x2﹣2x=0，

x（x﹣2）=0，

x=0或x﹣2=0，

x1=0或x2=2．

注意：

在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

5.十字相乘法：

对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉

帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。

例5.（2011泰安，21，3分）方程2x2＋5x－3＝0的解是___________．

分析：

先把方程两边同时除以2，化为（x＋3）（x－）＝0的形式，再求出x的值即可．

解：

原方程可化为：

（x＋3）（x－）＝0，

故x1＝－3，x2＝．

故答案为：

，

（三）配方法

1，配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：

用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例.（2012湖北荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）

A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4C．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16

解：

把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，

配方得（x﹣1）2=4．

故选A．

2，用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）把原方程变为的形式。

（3）若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

例：

（2011辽宁本溪，4，3分）一元二次方程的根（）

A． B．

C． D．

分析：

运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可．

解：

原方程左边配方，得，

∴

故选D．

点评：

此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

3，用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）先把二次项的系数化为1：

方程的左、右两边同时除以二项的系数；

（2）移项：

在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；

（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例：

用配方法解方程：

分析：

用配方法的关键在于：

①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

解：

化二次项系数为1得：

，

两边同时加上一次项系数一半的平方得：

配方得：

开方得：

移项得：

∴＝2，＝。

（四）公式法

1，一元二次方程的求根公式

一元二次方程的求根公式是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；

（2）求出的值；

（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

例.（2011湖北武汉，17，6分）解方程：

x2+3x+1=0

分析：

根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便．

解：

a=1，b=3，c=1且=5﹥0

∴x==．

（五）选择适合的方法解一元二次方程

直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：

一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例：

选择适当的方法解下列方程：

（1）；

（2）

（3）；（4）

分析：

根