数理统计参考答案.docx
《数理统计参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数理统计参考答案.docx（80页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
习题一
1设总体的样本容量，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布.
1）；2）；
3）；4）.
解设总体的样本为，
1）对总体，
其中：
2）对总体
其中：
3）对总体
4）对总体
2为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：
1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形.
解设代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1：
表1.1频率分布表
i
01234
个数
67322
0.30.350.150.10.1
经验分布函数的定义式为：
，
据此得出样本分布函数：
图1.1经验分布函数
3某地区测量了95位男性成年人身高，得数据（单位：
cm）如下：
组下限
165167169171173175177
组上限
167169171173175177179
人数
310212322115
试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.
解
图1.2数据直方图
它近似服从均值为172，方差为5.64的正态分布，即.
4设总体X的方差为4，均值为，现抽取容量为100的样本，试确定常数k，使得满足.
解
因k较大，由中心极限定理,：
所以：
查表得：
，.
5从总体中抽取容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率.
解
6从总体中分别抽取容量为10与15的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3的概率.
解设两个独立的样本分别为：
与，其对应的样本均值为：
和.
由题意知：
和相互独立，且：
，
7设是总体的样本，试确定C，使得.
解因，则，且各样本相互独立，则有：
所以：
查卡方分位数表：
c/4=18.31，则c=73.24.
8设总体X具有连续的分布函数，是来自总体X的样本，且，定义随机变量：
试确定统计量的分布.
解由已知条件得：
，其中.
因为互相独立，所以也互相独立，再根据二项分布的可加性，有
，.
9设是来自总体X的样本，试求。
假设总体的分布为：
1）2）3）4）
解1）
2）
3）
4）
10设为总体的样本，求
与。
解
又因为,所以：
11设来自正态总体，定义：
，计算.
解由题意知，令：
，则
12设是总体的样本，为样本均值，试问样本容量应分别取多大，才能使以下各式成立：
1）；2）；3）。
解1）
，
所以：
2）
令：
所以：
计算可得：
3）
查表可得：
，而取整数，.
13设和是两个样本，且有关系式：
（均为常数，），试求两样本均值和之间的关系，两样本方差和之间的关系.
解因：
所以：
即：
14设是总体的样本.
1）试确定常数，使得，并求出；
2）试确定常数，使得，并求出和.
解1）因：
，
标准化得：
，且两式相互独立
故：
可得：
，，.
2）因：
，，
所以：
，
可得：
.
15设分别是分布和分布的分位数，求证
.
证明设，
则：
所以：
故：
.
16设是来自总体的一个样本，求常数，使：
.
解易知，则；
同理，则
又因：
，所以与相互独立.
所以：
计算得：
c=0.976.
17设为总体的容量的样本，为样本的样本均值和样本方差，求证：
1）；
2）；
3）.
解1）因：
，
所以：
，
又：
且：
与相互独立
所以：
~
2）由1）可得：
3）因：
，
所以：
18设为总体的样本，为样本均值，求，使得
.
解
所以：
查表可得：
，即.
19设为总体的样本，试求：
1）的密度函数；2）的密度函数；
解因：
，
所以的密度函数为：
，
由定理：
20设为总体的样本，试求：
1）；2）
解
21设为总体的一个样本，试确定下列统计量的分布：
1）；2）；3）
解1）因为：
所以：
，
且与相互独立，由抽样定理可得：
2）因为：
，
且与相互独立，
所以：
3）因为：
，
所以：
，
且与相互独立，
由卡方分布可加性得：
.
22设总体服从正态分布，样本来自总体，是样本方差，问样本容量取多大能满足？
解由抽样分布定理：
,
查表可得：
，.
23从两个正态总体中分别抽取容量为20和15的两独立的样本，设总体方差相等，分别为两样本方差，求.
解设分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，
又因分别为两独立的样本方差：
所以：
.
24设总体，抽取容量为20的样本，求概率
1）；
2）.
解1）因，且各样本间相互独立，所以：
故：
2）因：
所以：
25设总体，从中抽取一容量为25的样本，试在下列两种情况下的值：
1）已知；
2）未知，但已知样本标准差.
解1）
2）
26设为总体的样本，为样本均值和样本方差，当时，求：
1）2）
3）确定C，使.
解1）
2）
其中,则
3）
其中，，则
所以：
计算得：
.
27设总体的均值与方差存在，若为它的一个样本，是样本均值，试证明对，相关系数.
证明
所以：
.
28.设总体，从该总体中抽取简单随机样本，是它的样本均值，求统计量的数学期望.
解因，为该总体的简单随机样本，令，则有
可得：
习题二
1设总体的分布密度为：
为其样本，求参数的矩估计量和极大似然估计量.现测得样本观测值为：
0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求参数的估计值.
解计算其最大似然估计：
其矩估计为：
所以：
，
.
2设总体X服从区间[0,]上的均匀分布，即，为其样本，
1）求参数的矩估计量和极大似然估计量；
2）现测得一组样本观测值：
1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，试分别用矩法和极大似然法求总体均值、总体方差的估计值.
解1）矩估计量：
最大似然估计量：
无解.此时，依定义可得：
2）矩法：
极大似然估计：
.
3设是来自总体X的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量.已知总体X的分布密度为：
1）未知
2）未知
3）未知
4）未知
5），其中参数未知
6），其中参数未知
7）未知
8）
解1）
矩法估计：
最大似然估计：
.
2）
矩估计：
最大似然估计：
.
3）
矩估计：
联立方程：
最大似然估计：
无解，当时，使得似然函数最大，
依照定义，，同理可得.
4）
矩估计：
，不存在
最大似然估计：
，无解；依照定义，.
5）
矩估计：
即
最大似然估计：
，无解
依定义有：
.
6）
矩估计：
解方程组可得：
最大似然估计：
无解，依定义得，解得.
7）
矩估计：
最大似然估计：
.
8）
矩估计：
最大似然估计：
.
4.设总体的概率分布或密度函数为，其中参数已知，记，样本来自于总体X，则求参数的最大似然估计量.
解记则；
.
5设元件无故障工作时间X具有指数分布，取1000个元件工作时间的记录数据，经分组后得到它的频数分布为：
组中值
5152535455565
频数
365245150100704525
如果各组中数据都取为组中值，试用最大似然法求参数的点估计.
.解最大似然估计：
.
6已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：
小时）为：
1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948
设总体参数都未知，试用极大似然法估计这个星期中生产的灯泡能使用1300小时以上的概率.
解设灯泡的寿命为,,极大似然估计为：
根据样本数据得到：
.
经计算得，这个星期生产的灯泡能使用1300小时的概率为0.0075.
7.为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，化验每升水中大肠杆菌的个数（假定一升水中大肠杆菌个数服从Poisson分布），其化验结果如下：
大肠杆菌数/升
0123456
升数
1720102100
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？
解设为每升水中大肠杆菌个数，，，由3题
（2）问知，的最大似然估计为，所以
所以平均每升氺中大肠杆菌个数为1时，出现上述情况的概率最大.
8设总体，试利用容量为n的样本，分别就以下两种情况，求出使的点A的最大似然估计量.
1）若时；2）若均未知时.
解1），的最大似然估计量为，
所以.
2）的最大似然估计量为，最大似然估计为，由极大似然估计的不变性，直接推出.
9设总体X具有以下概率分布：
x
0
1/3
1/4
0
1
升级会员 