相似三角形培优练习Word格式文档下载.docx

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,CD⊥AB于D,分别以AC、BC为边向形外作等边。

求证：

DE⊥DF

4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点G,E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°

判断下列四对三角形是否相似，若相似，给予证明。

①；

②；

③；

④

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=6cm,BC=14cm,∠B=60°

P为下底BC上一点（不与B、C重合）,连接AP，过点P作PE交DC于点E,使得∠APE=∠B。

问：

在底边BC上是否存在一点P,使得DE:

EC=5:

3?

如果存在，求BP的长；

如果不存在，说明理由。

6.如图，在正方形ABCD中，AD=8,点E是边CD上（不包括端点）的动点，AE的中垂线FG交AD、AE、BC于F、H、K,交AB的延长线于点G.

（1）设DE=m,,用含m的代数式表示t。

（2）当t=时，求BG的长。

7.如图，在中，∠BAC=90°

，AD是BC边上的高；

E是BC边上的一个动点（不与B、C重合），EF⊥AB,EG⊥AC。

;

（2）FD与DG是否垂直；

若垂直，给予证明；

若不垂直，说明理由；

（3）当AB=AC时,为等腰直角三角形吗？

并说明理由。

8.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）。

（1）当t=2时，判断的形状，并说明理由；

（2）设的面积为S,求S与t的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，∽?

9．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；

点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：

⑴当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

⑵求四边形QAPC的面积；

提出一个与计算结果有关的结论；

⑶当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

10.已知：

如图，在直角三角形ABC中，

∠BAC=90°

，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°

，

（1）求证：

BD·

BC=BG·

BE；

（2）求证：

AG⊥BE；

（3）若E为AC的中点，求EF∶FD的值。

11.如图1，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，PM⊥PN,PM交BC于Q,PN交CD于R.

（1）求证;

PQ=PR

PA·

PN=PC·

PM

（3）如图2，（若正方形变矩形），

（2）中的结论是否成立，如果,试探求：

12.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AD⊥BC，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OE⊥BO交BC边于点E．

△ABF∽△COE；

（2）当O为AC边中点，时，如图2，求的值；

（3）当O为AC边中点，时，请直接写出的值．

分析：

（1）要求证：

△ABF∽△COE，只要证明∠BAF=∠C，∠ABF=COE即可．

（2）作OG⊥AC，交AD的延长线于G，易证△ABF≌△COE，进而证明△ABF∽△GOF，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．同理可得（3）OFOE=n．

解：

（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C=90度．

∵∠BAC=90°

，∴∠BAF=∠C．

∵OE⊥OB，∴∠BOA+∠COE=90°

∵∠BOA+∠ABF=90°

，∴∠ABF=COE．

∴△ABF∽△COE．

（2）解法一：

作OG⊥AC，交AD的延长线于G．

∵AC=2AB，O是AC边的中点，∴AB=OC=OA．

由

（1）有△ABF∽△COE，∴△ABF≌△COE，

∴BF=OE．

∵∠BAD+∠DAC=90°

，∠DAB+∠ABD=90°

，∴∠DAC=∠ABD，

又∠BAC=∠AOG=90°

，AB=OA．

∴△ABC≌△OAG，∴OG=AC=2AB．

∵OG⊥OA，∴AB∥OG，∴△ABF∽△GOF，

∴OFBF=OGAB，OFOE=OFBF=OGAB=2．

解法二：

，AC=2AB，AD⊥BC于D，

∴Rt△BAD∽Rt△BCA．∴ADBD=ACAB=2．

设AB=1，则AC=2，BC=5，BO=2，

∴AD=255，BD=12AD=155．

∵∠BDF=∠BOE=90°

，∴BDF∽△BOE，

∴BDDF=BOOE．

由

（1）知BF=OE，设OE=BF=x，∴155DF=2x，∴x=10DF．

在△DFB中x2=15+110x2，∴x=23．

∴OF=OB-BF=2-232=432．∴OFOE=432232=2．

（3）OFOE=n．

13.如图2-78所示．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4．

　　即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=AB＋AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决．

　　注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与△ABC相似，期望能解决问题．

　　证延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB＋AC），又延长BC至E，使AE=AC，连结ED．下面证明，△ADE∽△ABC．

　　设∠A=α，∠B=2α，∠C=4α，则

∠A+∠B+∠C=7α=180°

．

　　由作图知，∠ACB是等腰三角形ACE的外角，所以

∠ACE=180°

-4α＝3α，

　　所以∠CAE=180°

-3α-3α=7α-6α=α．

　　从而

∠EAB=2α＝∠EBA，AE＝BE．

　　又由作图

AE=AC，AE=BD，

　　所以BE=BD，

　　△BDE是等腰三角形，所以

∠D＝∠BED＝α＝∠CAB，

　　所以△ABC∽△DAE，

　　所以