资料华东理工大学本科生线性代数第七册.docx
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资料华东理工大学本科生线性代数第七册
华东理工大学
线性代数
作业簿（第七册）
学院____________专业____________班级____________
学号____________姓名____________任课教师____________
5.1方阵的特征值与特征向量
1.求下列矩阵的特征值与特征向量:
（1）;
（2）.
解:
（1）由，
解得的特征值为:
当时,解方程,由
得基础解系为,
故对应的全部特征向量为;
当时,解方程,由
得基础解系为,
故对应的全部特征向量为.
解:
（2）由,
解得的特征值为:
当时,解方程,由
得基础解系为,，故对应的全部特征向量为
;
当时,解方程:
由
得基础解系为,
故对应的全部特征向量为.
2.已知3阶矩阵的特征值为,,求的特征值.
解:
容易证明，当是的特征值时,则矩阵的多项式必有特征值.设,则有特征值:
,.
3.设矩阵,且的特征值为,求.
解:
因为有特征值为得:
即,解得,无限制,故
.
4.设,且有特征值,则=（）.
（A）;（B）;（C）;（D）.
解:
B.一方面；又,所以得.
5.设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量,试求常数的值.
解：
设,左乘得,即,
即,解得,,故有
或.
6.设分别是矩阵属于不同特征值的特征向量,试证:
不可能是的特征向量.
解:
设是的对应于特征值的特征向量,即有
另一方面,又有
综合得
再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的”,知必有即得,与已知条件矛盾,故命题得证.
7.设为阶矩阵,证明与有相同的特征根.
证明:
只要证明的特征值都是的特征值即可.
如果0是的特征值,则得,从而,故0也是的特征值;
再设是的任意一个非零特征值,对应的特征向量为,
即有
两边左乘得,即
显然（否则有,得到,矛盾）,
故也是的特征值,对应的特征向量为.
8．设为实正交矩阵,即,证明:
的特征值的绝对值只能是或.
证明:
设是的特征值,是对应的特征向量,即有
所以有
另一方面,又有
结合上述两式得,即.
5.2相似矩阵
1.已知是阶可逆矩阵，如果与矩阵相似，则下列四个命题中，
（1）与相似,
（2）与相似,
（3）与相似,（4）与相似,
正确的命题共有（）.
（A）;（B）;（C）;（D）.
解：
A.
（2）、（3）、（4）显然；
（1）成立是因为.
2.问下列矩阵能否与对角阵相似？
为什么？
（1）;
（2）;
（3）.
解：
（1）显然有三个不同的特征值,故有三个线性无关的特征向量,从而相似于对角阵.
（2）,
由得A的特征值
再由知方程组有两个线性无关的特征向量；
而单根必有另一特征向量,故有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵能够相似于对角阵.
（3）,
由得A的特征值
再由,知方程组只有一个线性无关的特征向量,即三阶矩阵没有三个线性无关的特征向量,故不能相似于任何对角矩阵.
3.设矩阵.
（1）证明可对角化;
（2）计算.
解:
（1）由,可得矩阵的特征值位.
对应特征值,有两个线性无关特征向量,；
对应特征值,有一个线性无关特征向量；
因为有三个线性无关的特征向量,所以可对角化.
取,则有
;
（2）由
（1）知,而,故
.
4．已知矩阵与相似，
（1）求；
（2）求一个满足的可逆阵.
解:
（1）由相似于,得,即
亦即
解之得；
（2）与有相同的特征值,
解方程组,得特征向量,
解方程组,得特征向量,
解方程组,得特征向量,
取,则有.
5.3实对称矩阵
1.求正交矩阵,将下列矩阵正交对角化.
（1）;
（2）.
解:
（1）由,可得特征值为，
当解方程组,得基础解系,单位化得;
当解方程组,得基础解系，单位化得;
当解方程组,得基础解系，单位化得;
取,则有
.
（2）由,可得特征值为,
当解方程组,得基础解系,，正交化得
,
再单位化得,;
当解方程组,得基础解系,单位化得,
取,则有
.
2.已知3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3,对应于特征值3的特征向量为,,求的对应于特征值6的特征向量及矩阵.
解:
实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以的对应特征值6的特征向量为与都正交，于是得到
和,
取一非零解,
再取,则有,
所以
.
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