资料华东理工大学本科生线性代数第七册.docx

1、资料华东理工大学本科生线性代数第七册华东理工大学线性代数作业簿（第七册）学 院_专 业_班 级_学 号_姓 名_任课教师_5.1 方阵的特征值与特征向量1. 求下列矩阵的特征值与特征向量:(1); (2).解:（1）由 ，解得的特征值为: ,当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 ,故对应的全部特征向量为 ;当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 ,故对应的全部特征向量为 .解: (2) 由,解得的特征值为: ,当时, 解方程 , 由, 得基础解系为 , ，故对应的全部特征向量为 ;当时, 解方程: , 由, 得基础解系为 ,故对应的全部特征向量为.2. 已知3阶矩阵的特征值为,求的特征值.解

2、: 容易证明， 当是的特征值时, 则矩阵的多项式必有特征值.设, 则有特征值: , , .3.设矩阵, 且的特征值为, 求.解: ,因为有特征值为得: , 即, 解得 , 无限制, 故.4.设, 且有特征值, 则=( ). (A); (B); (C); (D).解: B. 一方面； 又, 所以得. 5.设向量是矩阵的逆矩阵的特征向量, 试求常数的值.解：设, 左乘得 , 即 ,即, 解得, 故有或.6. 设分别是矩阵属于不同特征值的特征向量, 试证: 不可能是的特征向量. 解: 设是的对应于特征值的特征向量, 即有,另一方面, 又有,综合得,再由定理“矩阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的

3、”, 知必有 即得 , 与已知条件矛盾, 故命题得证.7. 设为阶矩阵, 证明与有相同的特征根.证明: 只要证明的特征值都是的特征值即可.如果0是的特征值, 则得 , 从而, 故0也是的特征值;再设是的任意一个非零特征值, 对应的特征向量为,即有 ,两边左乘得 , 即,显然（否则有, 得到, 矛盾）,故也是的特征值, 对应的特征向量为.8设为实正交矩阵, 即, 证明: 的特征值的绝对值只能是或.证明: 设是的特征值, 是对应的特征向量, 即有,所以有,另一方面, 又有,结合上述两式得, 即. 5.2 相似矩阵1.已知是阶可逆矩阵， 如果与矩阵相似，则下列四个命题中，(1)与相似, (2)与相似

4、, (3)与相似, (4)与相似, 正确的命题共有( ).(A); (B); (C); (D).解：A. (2)、（3）、（4）显然；（1）成立是因为.2. 问下列矩阵能否与对角阵相似？为什么？(1); (2); (3) .解：(1)显然有三个不同的特征值, 故有三个线性无关的特征向量, 从而相似于对角阵.(2),由得A的特征值再由知方程组有两个线性无关的特征向量；而单根必有另一特征向量, 故有三个线性无关的特征向量，从而三阶矩阵能够相似于对角阵.(3),由得A的特征值再由, 知方程组只有一个线性无关的特征向量, 即三阶矩阵没有三个线性无关的特征向量, 故不能相似于任何对角矩阵.3. 设矩阵.

5、 (1)证明可对角化; (2)计算.解:（1） 由, 可得矩阵的特征值位.对应特征值, 有两个线性无关特征向量 , ；对应特征值, 有一个线性无关特征向量 ；因为有三个线性无关的特征向量, 所以可对角化.取, 则有;(2)由（1）知, 而, 故 .4已知矩阵与相似，(1)求；(2)求一个满足的可逆阵.解: (1)由相似于, 得 , 即,亦即 ,解之得 ；(2)与有相同的特征值, 解方程组 , 得特征向量 , 解方程组 , 得特征向量 ,解方程组 , 得特征向量 ,取 , 则有. 5.3 实对称矩阵1.求正交矩阵, 将下列矩阵正交对角化. (1); (2) .解: (1)由, 可得特征值为，当 解方程组, 得基础解系, 单位化得;当 解方程组, 得基础解系，单位化得;当 解方程组, 得基础解系，单位化得;取, 则有.(2) 由, 可得 特征值为,当 解方程组, 得基础解系, ，正交化得, ,再单位化得 , ;当 解方程组, 得基础解系,单位化得,取, 则有.2. 已知3阶实对称矩阵的特征值为6,3,3, 对应于特征值3的特征向量为, , 求的对应于特征值6的特征向量及矩阵.解: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的，所以的对应特征值6的特征向量为与都正交，于是得到和,取一非零解,再取, 则有,所以 .