数学模型--投掷标枪_精品文档.doc

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数学建模课程设计报告

标枪投掷模型

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2014年7月16日

数学与统计学院课程设计报告第1页

1绪论

1.1课题的背景

标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。

而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。

进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。

不考虑阻力，设标枪初速度为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与，，的关系式，计算在确定的，下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

1.2预备知识

上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：

抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。

在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

2计算机工具简介

MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。

本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

3模型的假设

3.1模型假设

（1）标枪运行的过程中没有任何阻力；

（2）可以将标枪看作一个质点；

（3）投射角度与投射初速度是两个相互独立的量；

（4）设当地的重力加速度为，且取值为9.8m/s，并在投掷的任意点都相等；

（5）标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。

（6）不考虑标枪的旋转。

3.2符号说明

：

标枪初速度；

：

在水平方向上的分量；

：

在竖直方向上的分量；

：

重力加速度；

：

投射高度；

：

出手角度；

：

标枪运行的时间；

：

标枪在水平方向的位移（即为投掷距离）；

：

标枪在竖直方向的位移。

4模型的建立与求解

一、在确定的，下计算最佳出手角度

由题目所示，再根据物理知识可得，标枪投掷轨迹为一抛物线，且初速度和出手高度一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对水平和竖直两个方向进行分析，标枪投掷出去后，它在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向受重力影响作竖直上抛运动，加速度为。

所以标枪的运动轨迹为两个运动的叠加，图像如图1所示。

图4.1标枪投掷轨迹图

出手时的速度可以分解为：

水平方向：

垂直方向：

则有水平位移和竖直位移分别为：

消去，有

令方程中的为0，有：

舍去负根，有：

取=1.8m,=10m/s，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图。

a=[0:

0.01:

1.57]

x=（25.*sin（2*a））./19.6+sqrt（（（25.*sin（2*a））./19.6）.*（（25.*sin（2*a））./19.6）+（360.*（cos（a））.*（cos（a）））./9.8）

plot（a,x）

title（'标枪投掷距离与出手角度的关系'）

xlabel（'出手角度'）

ylabel（'投掷距离'）

grid

结果如图4.2所示：

图4.2标枪投掷距离与出手角度的关系图

由图可知，最大值的坐标为（0.40,6.50）。

二、研究不同的出手速度下最佳的出手角度

当和一定时，研究的变化对出手角度的影响。

便为关于的函数，即：

则对求一阶导数为：

令，有：

解得：

所以在给定出手高度，对于不同的出手速度，为最佳出手角度。

将上式代入

中，得：

Matlab命令：

1.在给定出手速度v下要达到最大射程时对应的角度

函数文件：

functionf=fun_sv（v）

f=0.5*acos（1.8*9.8/（1.8*9.8+v*v））/pi*180;

绘出图像：

fplot（'fun_sv',[0,100]）;

xlabel（'速度Vm/s'）;

ylabel（'角度'）;

title（'v不同得到最大投掷距离时对应的角度曲线'）;

axis（[050060]）;

结果如图4.3所示：

图4.3出手速度不同时得到最大投掷距离对应的角度曲线

5模型结果

5.1模型的评价

标枪的投掷模型在运动员训练比赛中经常能够遇到，在运动员身体条件大致相当的情况下，该模型具有一定的参考价值结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性，而且模型的最终计算方法简便，计算过程简单，最终得到结果与理论基本相符。

但是由于条件限制，本模型考虑得是标枪在没有任何阻力的情况下，而实际情况中都会有一定的阻力。

此外，标枪投掷的距离由很多因素决定，重力加速度也会随地域的不同而变化。

我们建立的模型只是简单地研究了这个问题，比起实际问题的复杂程度，有很多因素没有考虑到。

5.2模型的推广

本模型不仅可以用于标枪投掷问题，还可以推广到其他运动中。

运用该模型的目的就是确定出手角度和最大投掷距离。

此外，还可以根据此来引导运动员的一些运动习惯，从而在训练和比赛中队运动员和教练有一定的理论指导意义。

结论

标枪运动作为一个传统的比赛项目，对增强体质，特别是发展躯干和上下肢力量有显著的作用。

如何能够在比赛中取得更好的成绩，是个困扰很多运动员和教练的问题。

因此，能够通过数学模型的知识解决这个问题是很有意义的。

本模型首先建立了铅球投掷的轨迹图，然后根据物理知识，把该运动分为水平和竖直两个方向来考虑，计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

得到结论是：

在=1.8m,=10m/s时，出手的角度约为0.40（约为23度），投掷距离约为6.5m。

当出手角度为时，标枪投得最远。

由图4.3得，不同的出手速度对应不同的最佳角度，速度不断增加的时候，角度趋于45°。

根据不同运动员的具体情况可从图4.3中确定最佳出手角度。

参考文献

[1]冯杰,黄力伟,王勤,易成义.数学建模原理与案例[M].北京:

科学出版社,2007:

222-226.

[2]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（第三版）[M].北京:

高等教育出版社,2003.8:

135-153,248-262,358-375.