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实数大小比较的常用方法【初二数学】

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2012年11月23日浏览：

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顿悟教育数学培优训练营来自：

顿悟教育网

实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。

一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。

当a－b﹤0时，得到a﹤b。

当a－b＝0，得到a=b。

例1：

（1）比较与的大小。

（2）比较1－与1－的大小。

解∵－＝＜0，∴＜。

解∵（1－）－（1－）=＞0，∴1－＞1－。

二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。

当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。

来比较a与b的大小。

例2：

比较与的大小。

解：

∵÷=＜1∴＜

三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。

来比较a与b的大小。

例3：

比较－与－的大小。

解∵=+，=+

又∵+＜+

∴－＞－

四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：

比较与的大小

解：

，=8+2。

又∵8+2＜8+2∴＜。

五【估算法】

估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4：

比较与的大小

解：

∵3＜＜4∴－3＜1∴＜

六【移动因式法】（穿墙术）

移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：

比较2与3的大小

解：

∵2==，3==。

又∵28＞27，∴2＞3。

七【取特值验证法】

比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例7：

当时，，，的大小顺序是______________。

解：

（特殊值法）取=，则：

=，=2。

∵＜＜2，∴＜＜。

例（常德市）设a＝20，b＝（－3）2，c＝，d＝，则a、b、c、d按由小到大的顺序排列正确的是（　　）

A.c＜a＜d＜bB.b＜d＜a＜cC.a＜c＜d＜bD.b＜c＜a＜d

分析　可以分别求出a、b、c、d的具体值，从而可以比较大小.

解　因为a＝20＝1，b＝（－3）2＝9，c＝＝－，d＝＝2，而－＜1＜2＜9，所以c＜a＜d＜b.故应选A.

除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法。

对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。

能快速地取得令人满意的结果。

比较实数大小的八种方法

张德军

生活中，我们经常会遇到下面的问题：

比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法

比较实数大小的法则是：

正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。

例1比较与的大小。

析解：

由于，且，所以。

说明：

利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。

二、平方法

用平方法比较实数大小的依据是：

对任意正实数a、b有：

。

例2比较与的大小。

析解：

由于，而，所以。

说明：

本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法

用数形结合法比较实数大小的理论依据是：

在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解：

如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：

四、估算法

用估算法比较实数的大小的基本思路是：

对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。

例4比较与的大小。

析解：

由于，故，所以

五、倒数法

用倒数法比较实数的大小的依据是：

对任意正实数a、b有：

例5比较与的大小

析解：

因为，

又因为，

所以

所以

说明：

对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法

用作差法比较实数的大小的依据是：

对任意实数a、b有：

例6比较与的大小。

析解：

设，

则

所以

七、作商法

用作商法比较实数的大小的依据是：

对任意正数a、b有：

例7比较与的大小。

析解：

设，

，则

即

八、放缩法

用放缩法比较实数的大小的基本思想方法是：

把要比较的两个数进行适当的放大或缩小，使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。

例8比较与198的大小。

析解：

由于

所以

取n＝2，3，4…10000代入上式，并将所得的不等式相加得：

即

所以

两个实数大小的比较，方法多种多样，在实际操作时，根据要比较的数的特点来选择适当的方法进行比较，才能方便快捷地取得准确的结果。

编辑本段1.数轴比较法

　　数轴的基本性质：

实数与数轴上的点一一对应。

　　利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。

　　设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。

　　如图，点A表示数a，点B表示数b。

因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.

数轴

编辑本段2.作差比较法

　　若a-b>0，则a>b；

　　若a-b=0，则a=b；

　　若a-b<0，则a

编辑本段3.作商比较法

　　设b>0，有

　　若a/b>1，则a>b；

　　若a/b=1，则a=b；

　　若a/b<1，则a

当b<0，a<0时：

若a/b>1,则ab

编辑本段4.倒数比较法

　　若a>b>0，则1/a<1/b；

　　若a1/b；

　　若a<0

比较实数大小的技巧

周启东

任意两个实数之间，都存在着“顺序”关系，所以可以比较它们的大小。

实数的大小比较是实数内容中常见的题型之一。

要想解题时得心应手，就应掌握比较大小的若干技巧。

实数的大小比较，一般采用以下几种方法。

一、比较被开方数法

一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么。

也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。

反之也成立。

例1、比较大小：

（1）；

（2）。

解析：

若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

（1）因为，且，所以，因此，。

（2）因为，且，所以，所以。

因此，。

二、添加根号法

若a>0，则。

在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。

例2、比较的大小。

解析：

因为，又因为，于是，即。

三、乘方法（平方法或立方法）

如果a>0，b>0，若，那么a>b；若，那么a>b。

例3、比较大小：

（1）；

（2）。

解析：

（1）因为，而12<18，所以。

（2）因为，而

，所以。

四、取近似值法（估算法）

在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。

不过取近似值时，要使它们的精确度相同。

再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。

如果没有计算器，则可用估算法。

先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4、比较大小：

（1）；

（2）。

解析：

（1）因为所以。

又因为，所以。

（2）因为，所以，所以。

五、作差法

作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。

当时，得到a>b；当时，得到a

例5、比较的大小。

解析：

因为，所以。

六、作商法

作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。

当时，ab；当时，a=b。

例6、比较的大小。

解析：

因为，所以。

七、放缩法（中间值法）

如果a

若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。

例7、比较的大小。

解析：

因为，所以。

所以，即。

八、不等式性质法

例8、比较大小：

。

解析：

因为，所以，因此。

九、特殊值法

在解决含有字母的选择题或填空题时，常常可以采用特殊值法，这样能够比较快捷地得到答案。

例9、已知x

A、M

解析：

根据条件，不妨设，则M=4，N=1，。

不难得到：

N

因此，应选D。

十、数轴比较法

数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。

例10、已知a、b是实数，且。

试比较a，b，－a，－b的大小关系。

解析：

因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来，如图1。

又因为a与与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。

所以的大小关系是。

十一、法则比较法

正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

例11、已知a、b是实数，且a<0

解析：

因为a<0,b>0，则ab<0。

又c≠0，则，所以，为负数。

而b>0，，所以，为正数。

所以。

十二、根式定义法

该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。

例12、比较的大小。

解析：

根据平方根的定义可知。

所以，故。

而。

十三、倒数法

倒数法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数、，再根据当时，a

例13、设，则a、b、c的大小关系是（）。

A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a

解析：

当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。

首先，，

，

。

因为，所以，则b>c。

又因为，所以，则a>b。

由此可得：

a>b>c。

故选A。

十四、分子有理化法

例14、比较的大小。

解析：

，

。

因为，故，所以。

总之，具体使用什么方法来进行比较，应当根据题目所给的实数的类型或形式灵活选用。

实数大小的比较方法

安徽省长丰县钱集中学杨明星

在实数范围内比较两个数的大小，看起来比较简单。

但也有一些题目会让大家比较棘手。

我在多年的教育教学中发现，比较两个实数的大小可用一些特殊的方法做起来比较容易。

下面介绍几种比较两个实数大小的方法，供大家参考。

一、求差法

例1：

比较与的大小。

分析：

由于本题的分母相同，所以只要比较1与-2的大小。

解∵1-（-2）

=1-+2

=3-﹥0。

（3=，﹥）

∴1﹥-2，

∴﹥。

说明：

若a、b为实数，a-b﹥0则a﹥b；a-b=0则a=b；a-b﹤0则a﹤b。

以后做题时遇到同分母或同分子的问题时可用上面的方法。

二、求商法

例2：

有两个数A=、B=比较A、B的大小。

分析：

本题在不用计算器的前提下对于初中生来说并不容易。

通过观察可以发现分子、分母都可以分解因数。

分子含有公因数：

111，分母含有公因数：

1111。

因此可采用两数相除的方法，问题就