数学所有不等式放缩技巧及证明方法_精品文档.doc

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高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法

一、裂项放缩

例1.

（1）求的值;

（2）求证:

.

例2.

（1）求证:

（2）求证:

（3）求证:

（4）求证：

例3.求证:

例4.（2008年全国一卷）设函数.数列满足..设，整数.证明:

.

例5.已知,求证:

.

例6.已知,,求证:

.

例7.已知,,求证:

二、函数放缩例8.求证：

.

例9.求证:

（1）

例10.求证:

例11.求证:

和.

例12.求证:

例14.已知证明.

例16.（2008年福州市质检）已知函数若

三、分式放缩

例19.姐妹不等式:

和也可以表示成为和

例20.证明:

四、分类放缩例21.求证:

例23.（2007年泉州市高三质检）已知函数，若的定义域为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数都有？

并证明你的结论。

例24.（2008年中学教学参考）设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的个数为.设,当时,求证:

.

五、迭代放缩

例25.已知,求证:

当时,

例26.设,求证:

对任意的正整数k,若k≥n恒有:

|Sn+k－Sn|<

六、借助数列递推关系

例27.求证:

例28.求证:

例29.若,求证:

七、分类讨论

例30.已知数列的前项和满足证明：

对任意的整数，有

八、线性规划型放缩

例31.设函数.若对一切，，求的最大值。

九、均值不等式放缩

例32.设求证

例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：

例35.求证

例36.已知,求证:

例37.已知,求证:

例38.若,求证:

.

例39.已知,求证:

.

例40.已知函数f（x）=x2－（－1）k·2lnx（k∈N*）.k是奇数,n∈N*时,求证:

[f’（x）]n－2n－1·f’（xn）≥2n（2n－2）.

例41.（2007年东北三校）已知函数

（1）求函数的最小值，并求最小值小于0时的取值范围；

（2）令求证：

例43.求证:

十、二项放缩

例44.已知证明

例45.设，求证：

数列单调递增且

例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：

例47.设，求证.

例49.已知函数f（x）的定义域为[0,1]，且满足下列条件：

①对于任意[0,1]，总有，且；

②若则有

（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求证：

f（x）≤4；（Ⅲ）当时，试证明：

.

例50.已知：

求证：

十二、部分放缩（尾式放缩）

例55.求证:

例56.设求证：

例57.设数列满足，当时证明对所有有；

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例1、已知求证：

2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例2、函数f（x）=，求证：

f

（1）+f

（2）+…+f（n）>n+.

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）

例3、已知an=n，求证：

＜3．

4、放大或缩小“因式”；

例4、已知数列满足求证：

5、逐项放大或缩小

例5、设求证：

6、固定一部分项，放缩另外的项；

例6、求证：

7、利用基本不等式放缩

例7、已知，证明：

不等式对任何正整数都成立.

构造函数法证明不等式的方法

一、移项法构造函数

【例1】已知函数，求证：

当时，恒有

2、作差法构造函数证明

【例2】已知函数求证：

在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；

3、换元法构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：

对任意的正整数n，不等式都成立.

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：

．a>b

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