高中数学数列综合应用阶段测试高考专项训练B4Word格式文档下载.docx

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A．17mB．16mC．15mD．14m

4．已知数列、满足，则数列的前10项的和为（）

5．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：

“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？

”意思是：

“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；

在细的一端截下1尺，重2斤；

问依次每一尺各重多少斤？

”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）

A．6B．5C．4D．7

6．删去正整数数列中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）

7．7．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是（　　）

A．33个B．65个

C．66个D．129个

8．若数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn（n∈N＋），且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝100，则lg（x101＋x102＋…＋x200）的值为（　　）

A．102B．101

C．100D．99

9．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（）

A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸

10．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）

A．4B．6C．8D．10

11．已知数列满足，则（）

A．1024B．1023C．2048D．2047

12．设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）

A．B．

C．D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

13．在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．

14．计算：

__________．

15．已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________

16．用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1％．若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，全部欠款付清后，买这件家电实际付款______元．

三、解答题

17．已知数列中，（）.

（1）求数列的通项公式及前项和；

（2）（此问题仅理科作答）设，求证：

.

（2）（此问题仅文科作答）设,求数列的最大项和最小项.

18．对任意函数，，可按如图所示的程序框图构造一个数列发生器，记由数列发生器产生数列，.

（Ⅰ）若定义函数，且输入，请写出数列的所有项；

（Ⅱ）若定义函数，且输入，求数列的通项公式.

19．已知数列的前项和（其中），且的最大值为8.

（1）确定常数，并求；

（2）设数列的前项和为，求证：

20．已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和；

（3）令，问是否存在正整数使得成等差数列？

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

21．设正数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式.

（2）若数列，设为数列的前项的和，求.

（3）若对一切恒成立，求实数的最小值.

22．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？

若存在请求出的取值范围；

若不存在请说明理由．

23．设数列满足，．

（2）令，求数列的前项和．

24．

（1）证明：

1，，不可能成等差数列；

（2）证明：

1，，不可能为同一等差数列中的三项.

参考答案

1．A

【解析】分析：

由2Sn=（n+1）an，n≥2时，2Sn﹣1=nan﹣1，则2an=2（Sn﹣Sn﹣1），整理得：

，则，可得：

an=n．不等式an2﹣tan≤2t2，化为：

（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．

详解：

∵a1=1，2Sn=（n+1）an，

∴n≥2时，2Sn﹣1=nan﹣1，

∴2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=（n+1）an﹣nan﹣1，整理得：

，

∴

∴an=n．

不等式an2﹣tan≤2t2，化为：

（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，

∴0＜n≤2t，

关于正整数n的不等式an2﹣tan≤2t2的解集中的整数解有两个，

可知n=1，2．

∴1≤t＜，

故答案为：

A.

点睛：

本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

2．D

本题中连续奇数项组成一个公差为2的等差数列，但是与项数ｎ之间没有对应，所以通过补项的方法，构造一个数列，使得相邻两项的和为一个公差为8的等差数列，此时项数n与项之间有对应的关系。

方法一：

把连续的奇数数列加1减1变成，把相邻两项的和看成一个新的数列，为，所以变成首项的等差数列，求和为

方法二：

用特殊值检验法，

当时，数列的和为3，可排除C；

当时，数列的和为15，可排除A、B；

所以选D

本题考查了等差数列的求和，主要是注意等差数列的公差与数列的项之间的对应。

另外，数列求通项公式或求和公式的应用，特殊值检验法在选择题中有广泛的应用，要注意解题方法的选择。

3．C

将原问题转化为等差数列的问题，结合等差数列前n项和公式整理计算即可求得最终结果.

纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则纸的长度为：

其中，

即：

本题选择C选项.

本题主要考查等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．D

【解析】试题分析：

由题可知，则数列即为数列奇数项，则数列仍为等比数列，其首项为公比为原数列公比的平方，则数列的前10项的和为

考点：

等比数列的性质

5．A

由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．

由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，

记为{an}，设公差为d，

则，解得a1=，d=，

∴该金杖的总重量M=10×

=15，

∵48ai=5M，∴48[（i﹣1）×

]=25，

即39+6i=75，解得i=6，

故选：

A．

本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，是基础题．

6．B

由于数列共有项，去掉个平方数后，还剩余项，所以去掉平方数后第应在后的第个数，即是原来数列的第项，从而求得结果.

由题意可得，这些数可以写为：

，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.

解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以数列共有项这个条件非常关键，只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解.

7．B

【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列，，故小时后细胞的存活数是，故选B.

8．A

【解析】由，得，

所以数列是公比为的等比数列，

又，

所以，

所以，故选A．

9．C

【解析】设晷影长为等差数列，公差为，，，则，解得，∴，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选C.

10．C

【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，

则,所以，

结合等比数列求和公式有：

，解得n=4，

即这个等比数列的项数为8.

11．B

【解析】an+1=an+2n；

∴an+1−an=2n；

∴（a2−a1）+（a3−a2）+…+（a10−a9）=2+22+…+29==1022；

∴a10−a1=a10−1=1022；

∴a10=1023.

本题选择B选项.

数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：

①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；

②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．

12．D

【解析】令f（x）=x3+2016x,则f′（x）=3x2+2016>

0，

所以f（x）在R上单调递增,且f（x）为奇函数。

由条件得,f（）=−1,f（）=1，

∴,从而+=2，

又等差数列的前项和为，

所以===2016，

因为f（）=−1,f（）=1,f（x）在R上单调递增，

所以>

即>

D.

本题解题关键由题意合理构造函数f（x）=x3+2016x，借助此函数的单调性与奇偶性明确+=2，再利用等差数列的重要性质，问题迎刃而解.

13．9

将an+an+1+an+2=15中n换为n+1，可得数列{an}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018

由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.

本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．

原式变形后，利用裂项相消法，计算即可得到结果．

由裂项相消法原式=

此题考查了数列的求和，熟练掌握裂项相消法运算法则是解本题的关键．

15．2

【解析】由，若对于任意的第项等于的第项，

则，则

所以.

16．1255元

【解析】

【分析】

每月付50元，分20次付完，设每月付款数顺次组成数列{an}，可得付款数{an}组成等差数列，公差d=﹣0.5，