福建省龙岩市届高三教学质量检查漳州三模数学试题文解析版Word下载.docx
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所以，即，
设等差数列的公差为，
又，所以，故，
所以
故选B．
5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）
A.回答该问卷的总人数不可能是100个
B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多
C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少
D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个
『答案』D
『解析』对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，
对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，
对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，
对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，
D．
6.若，则“”是“”的（）
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
『解析』由a>
1,得等价为x>
y;
等价为x>
y>
故“”是“”的必要不充分条件
7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
『解析』由三视图可知：
该几何体下部为半球，上部为大圆柱挖去了一个小圆柱.
且半球的半径为2，大圆柱的底面圆半径为2，高为3，小圆柱的底面圆半径为1，高为3，
故该几何体的体积为.
故选C．
8.已知函数，则下列结论正确的是（）
A.的最大值为1B.的最小正周期为
C.的图像关于直线对称D.的图像关于点对称
『解析』函数=
sin（2x）+1
对于A：
根据f（x）＝sin（2x）+1可知最大值为2；
则A不对；
对于B：
f（x）＝sin（2x）+1，T＝π则B不对；
对于C：
令2x=，故图像关于直线对称则C正确；
对于D：
令2x=，故的图像关于点对称则D不对．
9.若正四棱柱的体积为，，则直线与所成的角为（）
『解析』∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，AB＝1，∴AA1，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），
（0，1，），（0，﹣1，），
设直线AB1与CD1所成的角为θ，
则cosθ，又θ
∴θ＝60°
，∴直线AB1与CD1所成的角为60°
．
10.已知函数，若，则实数的取值范围是（）
『解析』由题画出函数的图像如图所示，故，即，解得的取值范围是
D
11.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：
院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（）
『解析』依题意，基本事件的总数为24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，
①若甲模仿“扶”，则A包含16个基本事件；
②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含28个基本事件，
综上A包含6+8＝14个基本事件，
所以P（A），
B．
12.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=ex-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（ ）
A.B.C.eD.
『解析』作出两个曲线的图象如图，
设A（x1，a），B（x2，a），则x1＞x2，
则2x1﹣3＝e，即x1（e+3），
则|AB|＝（e+3）（﹣3+e3），
设f（x）（ex﹣3x+3），x≥0，
函数的导数f′（x）（﹣3+ex），
由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，
由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）减函数，
即当x＝ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）（3+3﹣3ln3）＝3ln3，
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.向量，满足，，则=______．
『答案』1
『解析』因为向量，满足，，
所以，因此
故答案为1．
14.若满足约束条件，则的最大值是_____．
『答案』11
『解析』画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示：
当直线平移过A时，z最大，联立得A（1,5）
故z最大值为1+2×
5=11
故答案为11
15.若数列满足，，则_____．
『答案』
『解析』因为数列满足，，
所以，
……
以上各式相加得，
所以.
16.已知点为椭圆的左焦点，直线与相交于两点（其中在第一象限），若，，则的离心率的最大值是____．
『解析』设右焦点为,连接,由椭圆对称性知四边形为平行四边形，又=2c=，故为矩形，=，，即,∴又,故0<
e≤
故答案为
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）
17.已知锐角的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若，，求.
解：
（1）因为，
所以由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
所以，所以．
（2）解法一：
因为为锐角三角形，所以为锐角，
因为，所以．
因为，，由余弦定理得，
所以，所以.
解法二：
因为为锐角三角形，所以，为锐角，
因为，，
所以由正弦定理得，
所以．
由正弦定理得.
18.如图，菱形中，，，是的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且平面平面，
（1）求证：
；
（2）若为的中点，求四面体的体积．
（1）证明：
在左图中，∵四边形是菱形，，是的中点，
∴，
故在右图中，，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
（2）解：
在左图中，∵四边形是菱形，，，
∴，且，
在右图中，连接，则，
∵为的中点，
∴．
19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：
用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取名，每名用户赠送元的红包，为了合理确定保费的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中表示保费为元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；
（1）根据上面的数据求出关于的回归直线方程；
（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于万元，能否把保费定为5元？
x
10
20
30
40
50
y
0.79
0.59
0.38
0.23
0.01
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，
参考数据：
表中的5个值从左到右分别记为，相应的值分别记为，经计算有，其中，．
（1）由已知得，
，，
所以，，
关于的回归直线方程为；
（2）能把保费定为5元．
理由如下：
若保费定为5元，则估计．
估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为
元（万元）（万元）.
∴把保费定为5元．
20.已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.
（1）因为点到的准线的距离为2，所以，，
由解得
所以的方程为
（2）解法一.由
（1）知抛物线的方程为.
要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，
由得
所以，得.
设则
因为，所以，
所以，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过椭圆的右顶点，
不妨设，，且，
当且仅当时，.
21.已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若，求的取值范围.
（1）函数定义域为，．
当时，，
令，则，
因为在上单调递增，且，
所以当时，；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，即，仅当时取等号.
当时，；
所以的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）解法一.
由
（1）知，
所以当时，，得，
令，
由
（1）知，，所以，满足题意.
当时，，不满足题意.
所以的取值范围是.
由，得，
问题转化为，
令，则，
因为，（仅当时取等号），，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以的取值范围是.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，
（1）求的普通方程和的直角坐标方程；
（2）若与的交点为，且，求.
（1）利用消去参数，
得的普通方程为；
由得，所以的直角坐标方程为：
（2）根据对称性知，关于轴对称，
不妨设，，
代入的直角坐标方程得，
又在上，所以，解得．
23.函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为空集，求的取值范围．
（1）当时，不等式，即，
当时，原不等式可化为，即，显然不成立，此时原不等式无解；
当时，原不等式可化为，解得；
当时，原不等式可化为，即，显然成立，即满足题意；
综上，原不等式的解集为；
（2）由的解集为空集，得的解集为空集，
所以恒成立，
所以当且仅当，即时，，
所以，解得，即的取值范围是．
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