word完整版高等数学B教案第九章Word文档格式.docx

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4、多元复合函数偏导数；

5、隐函数的偏导数

6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；

7、多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：

1、二元函数的极限与连续性的概念；

2、全微分形式的不变性；

3、复合函数偏导数的求法；

4、二元函数的二阶泰勒公式；

5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

6、拉格郎日乘数法；

7、多元函数的最大值和最小值。

§

91多元函数的基本概念

一、教学目的与要求：

1．理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

二、重点（难点）：

二元函数极限的定义与连续性

三、教学方式：

讲授式教学结合多媒体

讲授内容：

一、平面点集n维空间

1．平面点集

由平面解析几何知道当在平面上引入了一个直角坐标系后平面上的点P与有序二元实数组（xy）之间就建立了一一对应于是我们常把有序实数组（xy）与平面上的点P视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面

二元的序实数组（xy）的全体即R2RR{（xy）|xyR}就表示坐标平面

坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作

E{（xy）|（xy）具有性质P}

例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是

C{（xy）|x2y2r2}

如果我们以点P表示（xy）以|OP|表示点P到原点O的距离那么集合C可表成

C{P||OP|r}

邻域

设P0（x0y0）是xOy平面上的一个点是某一正数与点P0（x0y0）距离小于的点P（xy）的全体称为点P0的邻域记为U（P0）即

或

邻域的几何意义U（P0）表示xOy平面上以点P0（x0y0）为中心、>

0为半径的圆的内部的点P（xy）的全体

点P0的去心邻域记作即

注如果不需要强调邻域的半径则用U（P0）表示点P0的某个邻域点P0的去心邻域记作

点与点集之间的关系

任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种

（1）内点如果存在点P的某一邻域U（P）使得U（P）E则称P为E的内点

（2）外点如果存在点P的某个邻域U（P）使得U（P）E则称P为E的外点

（3）边界点如果点P的任一邻域内既有属于E的点也有不属于E的点则称P点为E的边点

E的边界点的全体称为E的边界记作E

E的内点必属于EE的外点必定不属于E而E的边界点可能属于E也可能不属于E

聚点

如果对于任意给定的0点P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点

由聚点的定义可知点集E的聚点P本身可以属于E也可能不属于E

例如设平面点集

E{（xy）|1x2y22}

满足1x2y22的一切点（xy）都是E的内点满足x2y21的一切点（xy）都是E的边界点它们都不属于E满足x2y22的一切点（xy）也是E的边界点它们都属于E点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点

开集如果点集E的点都是内点则称E为开集

闭集如果点集的余集Ec为开集则称E为闭集

开集的例子E{（xy）|1<

x2y2<

2}

闭集的例子E{（xy）|1x2y22}

集合{（xy）|1x2y22}既非开集也非闭集

连通性如果点集E内任何两点都可用折线连结起来且该折线上的点都属于E则称E为连通集

区域（或开区域）连通的开集称为区域或开区域例如E{（xy）|1<

2}

闭区域开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域例如E{（xy）|1x2y2≤2}

有界集对于平面点集E如果存在某一正数r使得EU（Or）

其中O是坐标原点则称E为有界点集

无界集一个集合如果不是有界集就称这集合为无界集

例如集合{（xy）|1x2y2≤2}是有界闭区域集合{（xy）|xy1}是无界开区域

集合{（xy）|xy1}是无界闭区域

2n维空间

设n为取定的一个自然数我们用Rn表示n元有序数组（x1x2xn）的全体所构成的集合即

RnRRR{（x1x2xn）|xiRi12n}

Rn中的元素（x1x2xn）有时也用单个字母x来表示即x（x1x2xn）当所有的xi（i12n）都为零时称这样的元素为Rn中的零元记为0或O在解析几何中通过直角坐标R2（或R3）中的元素分别与平面（或空间）中的点或向量建立一一对应因而Rn中的元素x（x1x2xn）也称为Rn中的一个点或一个n维向量xi称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量特别地Rn中的零元0称为Rn中的坐标原点或n维零向量

为了在集合Rn中的元素之间建立联系在Rn中定义线性运算如下

设x（x1x2xn）y（y1y2yn）为Rn中任意两个元素R规定

xy（x1y1x2y2xnyn）x（x1x2xn）

这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间

Rn中点x（x1x2xn）和点y（y1y2yn）间的距离记作（xy）规定

显然n123时上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至

Rn中元素x（x1x2xn）与零元0之间的距离（x0）记作||x||（在R1、R2、R3中通常将||x||记作|x|）即

采用这一记号结合向量的线性运算便得

在n维空间Rn中定义了距离以后就可以定义Rn中变元的极限

设x（x1x2xn）a（a1a2an）Rn

如果

||xa||0

则称变元x在Rn中趋于固定元a记作xa

显然

xax1a1x2a2xnan

在Rn中线性运算和距离的引入使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念可以方便地引入到n（n3）维空间中来例如

设a（a1a2an）Rn是某一正数则n维空间内的点集

U（a）{x|xRn（xa）}

就定义为Rn中点a的邻域以邻域为基础可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点以及开集、闭集、区域等一系列概念

二多元函数概念

例１圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系

Vr2h

这里当r、h在集合{（rh）|r>

0h>

0}内取定一对值（rh）时V对应的值就随之确定

例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系

其中R为常数这里当V、T在集合{（VT）|V>

0T>

0}内取定一对值（VT）时p的对应值就随之确定

例3设R是电阻R1、R2并联后的总电阻由电学知道它们之间具有关系

这里当R1、R2在集合{（R1R2）|R1>

0R2>

0}内取定一对值（R1R2）时R的对应值就随之确定

定义1设D是R2的一个非空子集称映射fDR为定义在D上的二元函数通常记为

zf（xy）（xy）D（或zf（P）PD）

其中点集D称为该函数的定义域xy称为自变量z称为因变量

上述定义中与自变量x、y的一对值（xy）相对应的因变量z的值也称为f在点（xy）处的函数值记作f（xy）即zf（xy）

值域f（D）{z|zf（xy）（xy）D}

函数的其它符号zz（xy）zg（xy）等

类似地可定义三元函数uf（xyz）（xyz）D以及三元以上的函数

一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D映射fDR就称为定义在D上的n元函数通常记为

uf（x1x2xn）（x1x2xn）D

或简记为

uf（x）x（x1x2xn）D

也可记为

uf（P）P（x1x2xn）D

关于函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf（x）时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如

函数zln（xy）的定义域为{（xy）|xy>

0}（无界开区域）

函数zarcsin（x2y2）的定义域为{（xy）|x2y21}（有界闭区域）

二元函数的图形点集{（xyz）|zf（xy）（xy）D}称为二元函数zf（xy）的图形二元函数的图形是一张曲面

例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似如果在P（xy）P0（x0y0）的过程中对应的函数值f（xy）无限接近于一个确定的常数A则称A是函数f（xy）当（xy）（x0y0）时的极限

定义2

设二元函数f（P）f（xy）的定义域为DP0（x0y0）是D的聚点如果存在常数A对于任意给定的正数ε总存在正数使得当时都有

|f（P）A||f（xy）A|

成立则称常数A为函数f（xy）当（xy）（x0y0）时的极限记为

或f（xy）A（（xy）（x0y0））

也记作

或f（P）A（PP0）

上述定义的极限也称为二重极限

例4.设求证

证因为

可见ε>

0取则当

即时总有

|f（xy）0|

因此

必须注意

（1）二重极限存在是指P以任何方式趋于P0时函数都无限接近于A

（2）如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在

讨论

函数在点（00）有无极限？

提示当点P（xy