word完整版高等数学B教案第九章Word文档格式.docx

1、4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。9 1 多元函数的基本概念一、教学目的与要求：1理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。二、重点（难点）：二元函数极限的定义与连续性三、教学方式：讲授式教学结合多媒体讲授内容：一、平面点集n

2、维空间 1平面点集 由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P与有序二元实数组（x y）之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组（x y）与平面上的点P视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组（x y）的全体 即R2R R（x y）|x y R就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集 记作 E（x y）| （x y）具有性质P 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C（x y）| x2y2 r2 如果我们以点P表示（x y） 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 CP| |OP| r

3、邻域 设P0（x0 y0）是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0（x0 y0）距离小于的点P （x y）的全体 称为点P0的邻域 记为U （P0 ） 即 或 邻域的几何意义 U （P0 ）表示xOy平面上以点P0（x0 y0）为中心、 0为半径的圆的内部的点P （x y）的全体 点P0的去心邻域 记作 即 注 如果不需要强调邻域的半径 则用U （P0）表示点P0的某个邻域 点P0的去心邻域记作 点与点集之间的关系 任意一点P R2与任意一个点集E R2之间必有以下三种关系中的一种 （1）内点 如果存在点P的某一邻域U（P） 使得U（P） E 则称P为E的内点 （2）外点 如果存在点P的某

4、个邻域U（P） 使得U（P） E 则称P为E的外点 （3）边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点 E的边界点的全体 称为E的边界 记作 E E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点 如果对于任意给定的 0 点P的去心邻域内总有E中的点 则称P是E的聚点 由聚点的定义可知 点集E的聚点P本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集 E （x y）|1 x2 y2 2 满足1 x2 y2 2的一切点（x y）都是E的内点 满足x2 y2 1的一切点（x y）都是E的边界点 它们都不属于E 满足x2 y2 2

5、的一切点（x y）也是E的边界点 它们都属于E 点集E以及它的界边 E上的一切点都是E的聚点 开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集 闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集 开集的例子 E（x y）|1x2y22 闭集的例子 E（x y）|1 x2y2 2 集合（x y）|1 x2y2 2既非开集 也非闭集 连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集 区域（或开区域） 连通的开集称为区域或开区域 例如E（x y）|10 h0内取定一对值（r h）时 V对应的值就随之确定 例2 一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系其

6、中R为常数 这里 当V、T在集合（V T） | V0 T0内取定一对值（V T）时 p的对应值就随之确定例3 设R 是电阻R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 这里 当R1、R2在集合（ R1 R2） | R10 R20内取定一对值（ R1 R2）时 R的对应值就随之确定 定义1 设D是R2的一个非空子集 称映射f D R为定义在D上的二元函数 通常记为zf（x y） （x y） D （或zf（P） P D）其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 上述定义中 与自变量x、y的一对值（x y）相对应的因变量z的值 也称为f在点（x y）处的函数值 记作f（

7、x y） 即z f（x y） 值域 f（D） z| zf（x y） （x y） D 函数的其它符号 zz（x y） zg（x y）等 类似地可定义三元函数u f（x y z） （x y z） D以及三元以上的函数 一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f D R就称为定义在D上的n元函数 通常记为 u f（x1 x2 xn） （x1 x2 xn） D 或简记为 u f（x） x （x1 x2 xn） D 也可记为 u f（P） P（x1 x2 xn） D 关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf（x）时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这

8、个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数zln（xy）的定义域为（x y）|xy0（无界开区域） 函数zarcsin（x2y2）的定义域为（x y）|x2y2 1（有界闭区域） 二元函数的图形 点集（x y z）|zf（x y） （x y） D称为二元函数zf（x y）的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面 三 多元函数的极限 与一元函数的极限概念类似 如果在P（x y） P0（x0 y0）的过程中 对应的函数值f（x y）无限接近于一个确定的常数A 则称A是函数f（x y）当（x y） （x0

9、 y0）时的极限 定义2 设二元函数f（P） f（x y）的定义域为D P0（x0 y0）是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当时 都有 |f（P） A| |f（x y） A| 成立 则称常数A为函数f（x y）当（x y） （x0 y0）时的极限 记为 或f（x y） A （x y） （x0 y0） 也记作 或f（P） A（P P0） 上述定义的极限也称为二重极限 例4. 设 求证 证 因为可见 0 取 则当即时 总有|f（x y） 0| 因此 必须注意 （1）二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A （2）如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数在点（0 0）有无极限？ 提示 当点P（x y