高考文科数学二轮专题复习03 三角函数与解三角形Word下载.docx

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正弦线，余弦线，正切线

6．同角三角函数基本关系式：

7．诱导公式：

任意角α的三角函数与角等的三角函数之间的关系，可以统一为“k·

±

α”形式，记忆规律为“将α看作锐角，符号看象限，（函数名）奇变偶不变”．

【复习要求】

1．会用弧度表示角的大小，能进行弧度制与角度制的互化；

会表示终边相同的角；

会象限角的表示方法．

2．根据三角函数定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号，牢记特殊角的三角函数值，

3．会根据三角函数定义，求任意角的三个三角函数值．

4．理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式．

【例题分析】

例1

（1）已知角α的终边经过点A（－1，－2），求sinα，cosα，tanα的值；

（2）设角α的终边上一点，且，求y的值和tanα．

解：

（1），

所以

（2）

得，解得

【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握，同时应关注其中变量的符号．

例2

（1）判断下列各式的符号：

①sin330°

cos（－260°

）tan225°

②sin（－3）cos4

（2）已知cosθ＜0且tanθ＜0，那么角θ是（）

A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角

（3）已知α是第二象限角，求角的终边所处的位置．

如图3－1－1，图3－1－2

（1）①330°

是第四象限角，sin330°

＜0；

－260°

是第二象限角，cos（－260°

）＜0；

225°

是第三象限角，tan225°

＞0；

所以sin330°

＞0.

②－3是第三象限角，sin（－3）＜0；

5是第四象限角，cos5＞0，所以sin（－3）cos5＜0

或：

－3≈－3×

57.3°

＝－171.9°

，为第三象限角；

5≈5×

＝286.5°

，是第四象限角

【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行判断，图3－1－1，图3－1－2两个坐标系应予以重视．

（2）cosθ＜0，所以角θ终边在第二或第三象限或在x轴负半轴上tanθ＜0，所以角θ终边在第二或第四象限中，所以角θ终边在第二象限中，选B.

【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握，

（3）分析：

容易误认为是第一象限角，其错误原因为认为第二象限角的范围是

α是第二象限角，所以2kπ＋＜α＜2kπ＋π，（k∈Z），所以如下图3－1－3，可得是第一象限或第三象限角，又4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，2α是第三象限或第四象限角或终边落在y轴负半轴的角．

【评析】处理角的象限问题常用方法

（1）利用旋转成角，结合图3－1－1，图3－1－2，从角度制和弧度制两个角度处理；

（2）遇到弧度制问题也可以由°

≈57.3°

化为角度处理；

（3）在考虑角的终边位置时，应注意考虑终边在坐标轴上的情况．

（4）对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练．

如第一象限角：

，注意防止的错误写法．

例3

（1）已知tanα＝3，且α为第三象限角，求sinα，cosα的值；

（2）已知，求sinα＋tanα的值；

（3）已知tanα＝－2，求值：

①；

②sin2α＋sinαcosα．

（1）因为α为第三象限角，所以sinα＜0，cosα＜0

，得到

（2）因为，且不等于－1，所以α为第二或第三象限角，

当α为第二象限角时，sinα＞0，

当α为第三象限角时，sinα＜0，

综上所述：

当α为第二象限角时，，当α为第三象限角时，

【评析】已知一个角的某一个三角函数值，求其余的三角函数值的步骤：

（1）先定所给角的范围：

根据所给角的函数值的符号进行判断

（2）利用同角三角函数的基本关系式，求其余的三角函数值（注意所求函数值的符号）

（3）当角的范围不确定时，应对角的范围进行分类讨论

（3）（法一）：

因为tanα＝－2，所以

①原式，

②原式＝（－2cosα）2＋（－2cosα）cosα＝2cos2α，

因为，得到，所以

（法二）：

①原式

②原式

【评析】已知一个角的正切值，求含正弦、余弦的齐次式的值：

（1）可以利用将切化弦，使得问题得以解决；

（2）1的灵活运用，也可以利用sin2α＋cos2α＝1，，将弦化为切．

例4求值：

（1）tan2010°

＝______；

（2）＝______；

（3）

＝tan（1800°

＋210°

）＝tan210°

＝tan（180°

＋30°

）＝

或:

【评析】“将α看做锐角，符号看象限，（函数名）奇变偶不变”，，可以看出是的－2倍（偶数倍），借助图3－1－2看出为第二象限角，正弦值为正．

（3）原式

【分析】，将α看做锐角，借助图3－1－2看出为第三象限角，正弦值为负，的3倍（奇数倍），改变函数名，变为余弦，所以可得，同理可得，所以原式.

【评析】诱导公式重在理解它的本质规律，对于“将α看做锐角，符号看象限，（函数名）奇变偶不变”要灵活运用，否则容易陷入公式的包围，给诱导公式的应用带来麻烦．

例5已知角α的终边经过点，则α的值为（）

A．B．CD．

因为，所以点在第二象限中，由三角函数定义得，

，因为角α的终边在第二象限，

所以，

所以，，选D．

例6化简下列各式：

（1）若θ为第四象限角，化简

（2）化简

（3）化简

（1）原式＝，

因为θ为第四象限角，所以cosθ＞0，原式＝，

（2）原式＝

当θ为第二、三象限角或终边在x轴负半轴上时，cosθ＜0，所以原式，

当θ为第一、四象限角或终边在x轴正半轴上时，cosθ＞0，所以原式.

（3）原式.

4弧度属于第三象限角，所以sin4＜0，cos4＜0，

所以原式＝－（sin4＋cos4）＝－sin4－cos4．

【评析】利用同角三角函数关系式化简的基本原则和方法：

（1）函数名称有弦有切：

切化弦；

（2）分式化简：

分式化整式；

（3）根式化简：

无理化有理（被开方式凑平方），运用，注意对符号的分析讨论；

（4）注意公式（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα＝1±

sin2α的应用．

例7扇形的周长为定值L，问它的圆心角θ（0＜θ＜π）取何值时，扇形的面积S最大?

并求出最大值．

设扇形的半径为，则周长L＝r·

θ＋2r（0＜θ＜π）

所以．

因为，当且仅当，即θ＝2∈（0，π）时等号成立．

此时，所以，当θ＝2时，S的最大值为.

练习3－1

一、选择题

1．已知，角α终边上一点P（－2，t），则t的值为（）

A．B．C．D．

2．“tanα＝1”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π]上角α的取值范围是（）

A．B．

C．D．

4．化简（）

A．sin10°

＋cos10°

B．sin10°

－cos10°

C．cos10°

－sin10°

D．－sin10°

二、填空题

5．已知角α，β满足关系，则α－β的取值范围是______．

6．扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则扇形的面积为______．

7．若，则tan（π－α）＝______．

8．已知：

，则cosα－sinα＝______．

三、解答题

9．已知tanα＝－2，且cos（π＋α）＜0，求

（1）sinα＋cosα的值

（2）的值

10．已知，求值：

（1）；

（2）cos2α－2sinαcosα．

11．化简

3－2三角变换

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ；

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ；

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ；

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ；

2．正弦、余弦、正切的二倍角公式

sin2α＝2sinαcosα：

cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；

1．牢记两角和、差、倍的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用；

2．掌握三角变换的通法和一般规律；

3．熟练掌握三角函数求值问题．

例1

（1）求值sin75°

（2）设，则______；

（3）已知角的终边经过点（－1，－2），则的值为______；

（4）求值______．

（1）

（2）因为，

（3）由三角函数定义得，，

所以.

（4）

【评析】两角的和、差、二倍等基本三角公式应该熟练掌握，灵活运用，这是处理三角问题尤其是三角变换的基础和核心．注意和运用．

例2求值：

（1）______；

（2）cos43°

cos77°

＋sin43°

cos167°

（3）______．

（1）原式

.

【评析】辅助角公式：

应熟练掌握，另外本题还可变形为

（2）分析所给的角有如下关系：

77°

＋43°

＝120°

，167°

＝90°

＋77°

，

原式＝cos43°

cos（90°

）＝cos43°

－sin43°

sin77°

＝cos（43°

）＝cos120°

＝

（3）分析所给的角有如下关系：

37°

＋23°

＝60°

，函数名均为正切，而且出现两角正切的和tana＋tanβ与两角正切的积tanαtanβ，所有均指向公式

∵

∴

∴．

【评析】三角变换的一般规律：

看角的关系、看函数名称、看运算结构．以上题目是给角求值问题，应首看角的关系：

先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口．公式的变形tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）应予以灵活运用．

例3，则tan2α＝______；

（2）已知，求的值．

（1）分析所给的两个已知角α＋β，α－β和所求的角2α之间有关系（α＋β）＋（α－β