《几何综合探究题中考27题》共55题中考专项配套练习北京专用Word格式.docx

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3．〔2021•北京〕如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点〔不与点A、B重合〕,连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH．

〔1〕求证：

GF＝GC；

〔2〕用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明．

4．〔2021•北京〕在等腰直角△ABC中,∠ACB＝90°

P是线段BC上一动点〔与点B、C不重合〕,连接AP,延长BC至点Q,使得CQ＝CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M．

〔1〕假设∠PAC＝α,求∠AMQ的大小〔用含α的式子表示〕．

〔2〕用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明．

5．〔2021•北京〕在等边△ABC中,

〔1〕如图1,P,Q是BC边上的两点,AP＝AQ,∠BAP＝20°

求∠AQB的度数；

〔2〕点P,Q是BC边上的两个动点〔不与点B,C重合〕,点P在点Q的左侧,且AP＝AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM．

①依题意将图2补全；

②小茹通过观察、实验提出猜测：

在点P,Q运动的过程中,始终有PA＝PM,小茹把这个猜测与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜测的几种想法：

想法1：

要证明PA＝PM,只需证△APM是等边三角形；

想法2：

在BA上取一点N,使得BN＝BP,要证明PA＝PM,只需证△ANP≌△PCM；

想法3：

将线段BP绕点B顺时针旋转60°

得到线段BK,要证PA＝PM,只需证PA＝CK,PM＝CK…

请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA＝PM〔一种方法即可〕．

一．解答题〔共40小题〕

1．〔2021•丰台区三模〕如图,在△ABC中,∠BAC＝30°

AB＝AC,将线段AC绕点A逆时针旋转α°

〔0＜α＜180〕,得到线段AD,连接BD,交AC于点P．

〔1〕当α＝90°

时,

①依题意补全图形；

②求证：

PD＝2PB；

〔2〕写出一个α的值,使得PDPB成立,并证明．

2．〔2021•石景山区二模〕在△ABC中,AB＝AC,D是边BC上的一点〔不与点B重合〕,边BC上点E在点D的右边且∠DAE∠BAC,点D关于直线AE的对称点为F,连接CF．

〔1〕如图1,

①依题意补全图1；

CF＝BD．

〔2〕如图2,∠BAC＝90°

用等式表示线段DE,CE,CF之间的数量关系,并证明．

3．〔2021•朝阳区三模〕在△ABC中,∠C＝90°

AC＝BC,点P在线段BA的延长线上,作PD⊥AC,交AC的延长线于点D,点D关于直线AB的对称点为E,连接PE并延长PE到点F,使EF＝AC,连接CF．

AD＝CF；

〔3〕假设AC＝2,点Q在直线AB上,写出一个AQ的值,使得对于任意的点P总有QD＝QF,并证明．

4．〔2021•北京二模〕菱形ABCD中,∠A＝60°

点E为边AD上一个动点〔不与点A,D重合〕,点F在边DC上,且AE＝DF,将线段DF绕着点D逆时针旋转120°

得线段DG,连接GF,BF,EF．

〔1〕依题意补全图形；

△BEF为等边三角形；

〔3〕用等式表示线段BG,GF,CF的数量关系,并证明．

5．〔2021•朝阳区二模〕∠AOB＝40°

M为射线OB上一定点,OM＝1,P为射线OA上一动点〔不与点O重合〕,OP＜1,连接PM,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转40°

得到线段PN,连接MN．

∠APN＝∠OMP；

〔3〕H为射线OA上一点,连接NH．写出一个OH的值,使得对于任意的点P总有∠OHN为定值,并求出此定值．

6．〔2021•海淀区二模〕如图1,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,满足BD＜CD,连接AD,以点A为中心,将射线AD顺时针旋转60°

与△ABC的外角平分线BM交于点E．

AD＝AE；

〔3〕假设点B关于直线AD的对称点为F,连接CF．

①求证：

AE∥CF；

②假设BE+CF＝AB成立,直接写出∠BAD的度数为　　°

．

7．〔2021•门头沟区二模〕如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的两个动点〔不与点A,B,C重合〕,且AE＝CF,延长BC到G,使CG＝CF,连接EG,DF．

〔1〕依题意将图形补全；

〔2〕小华通过观察、实验、提出猜测：

在点E,F运动过程中,始终有EGDF．经过与同学们充分讨论,形成了几种证明的想法：

想法一：

连接DE,DG,证明△DEG是等腰直角三角形；

想法二：

过点D作DF的垂线,交BA的延长线于H,可得△DFH是等腰直角三角形,

证明HF＝EG；

…

请参考以上想法,帮助小华证明EGDF．〔写出一种方法即可〕

8．〔2021•东城区二模〕在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝α,点D是△ABC外一点,点D与点C在直线AB的异侧,且点D,A,C不共线,连接AD,BD,CD．

〔1〕如图1,当α＝60°

．∠ADB＝30°

时,画出图形,直接写出AD,BD,CD之间的数量关系；

〔2〕当α＝90°

∠ADB＝45°

时,利用图2,继续探究AD,BD,CD之间的数量关系并证明；

〔提示：

尝试运用图形变换,将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中〕

〔3〕当∠ADB时,进一步探究AD,BD,CD之间的数量关系,并用含α的等式直接表示出它们之间的关系．

9．〔2021•平谷区二模〕如图,在△ABM中,∠ABC＝90°

延长BM使BC＝BA,线段CM绕点C顺时针旋转90°

得到线段CD,连结DM,AD．

〔1〕依据题意补全图形；

〔2〕当∠BAM＝15°

时,∠AMD的度数是　　；

〔3〕小聪通过画图、测量发现,当∠AMB是一定度数时,AM＝MD．

小聪把这个猜测和同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜测的几种想法：

通过观察图形可以发现,如果把梯形ABCD补全成为正方形ABCE,就易证△ABM≌△AED,因此易得当∠AMD是特殊值时,问题得证；

要证AM＝MD,通过第〔2〕问,可知只需要证明△AMD是等边三角形,通过构造平行四边形CDAF,易证AD＝CF,通过△ABM≌△CBF,易证AM＝CF,从而解决问题；

通过BC＝BA,∠ABC＝90°

连结AC,易证△ACM≌△ACD,易得△AMD是等腰三角形,因此当∠AMD是特殊值时,问题得证．

请你参考上面的想法,帮助小聪证明当∠AMD是一定度数时,AM＝MD．〔一种方法即可〕

10．〔2021•西城区二模〕在正方形ABCD中,E是CD边上一点〔CE＞DE〕,AE,BD交于点F．

〔1〕如图1,过点F作GH⊥AE,分别交边AD,BC于点G,H．

求证：

∠EAB＝∠GHC；

〔2〕AE的垂直平分线分别与AD,AE,BD交于点P,M,N,连接CN．

②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系,并证明．

11．〔2021•丰台区二模〕如图,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°

将CA绕点C顺时针旋转45°

得到CP,点A关于直线CP的对称点为D,连接AD交直线CP于点E,连接CD．

〔1〕根据题意补全图形；

〔2〕判断△ACD的形状,并证明；

〔3〕连接BE,用等式表示线段AB,BC,BE之间的数量关系,并证明．

温馨提示：

在解决第〔3〕问的过程中,如果你遇到困难,可以参考下面几种解法的主要思路．

解法1的主要思路：

延长BC至点F,使CF＝AB,连接EF,可证△ABE≌△CFE,再证△BEF是等腰直角三角形．

解法2的主要思路：

过点A作AM⊥BE于点M,可证△ABM是等腰直角三角形,再证△ABC∽△AME．

解法3的主要思路：

过点A作AM⊥BE于点M,过点C作CN⊥BE于点N,设BN＝a,EN＝b,用含a或b的式子表示AB,BC．

……．

12．〔2021•密云区二模〕：

MN是经过点A的一条直线,点C是直线MN左侧的一个动点,且满足60°

＜∠CAN＜120°

连接AC,将线段AC绕点C顺时针旋转60°

得到线段CD,在直线MN上取一点B,使∠DBN＝60°

〔1〕假设点C位置如图1所示．

①依据题意补全图1；

∠CDB＝∠MAC；

〔2〕连接BC,写出一个BC的值,使得对于任意一点C,总有AB+BD＝3,并证明．

13．〔2021•顺义区二模〕：

在△ABC中,∠ABC＝90°

AB＝BC,点D为线段BC上一动点〔点D不与点B、C重合〕,点B关于直线AD的对称点为E,作射线DE,过点C作BC的垂线,交射线DE于点F,连接AE．

〔2〕AE与DF的位置关系是　　；

〔3〕连接AF,小昊通过观察、实验,提出猜测：

发现点D在运动变化的过程中,∠DAF的度数始终保持不变,小昊把这个猜测与同学们进行了交流,经过测量,小昊猜测

∠DAF＝　　°

通过讨论,形成了证明该猜测的两种想法：

过点A作AG⊥CF于点G,构造正方形ABCG,然后可证△AFG≌△AFE…

过点B作BG∥AF,交直线FC于点G,构造▱ABGF,然后可证△AFE≌△BGC…

请你参考上面的想法,帮助小昊完成证明〔一种方法即可〕．

14．〔2021•武汉模拟〕,在△ABC和△EFC中,∠ABC＝∠EFC＝90°

点E在△ABC内,且∠CAE+∠CBE＝90°

〔1〕如图1,当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时,连接BF,

△CAE∽△CBF；

②假设BE＝2,AE＝4,求EF的长；

〔2〕如图2,当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时,假设k,BE＝1,AE＝3,CE＝4,求k的值．

15．〔2021•丰台区模拟〕如图,在正方形ABCD中,E是边BC上的一动点〔不与点B、C重合〕,连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′,连接AC′并延长交直线