高二立体几何章节Word文档格式.doc

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如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内？

二、温故知新

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．

公理3

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面．

．

推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

把以上各公理及推论进行对比：

公理或推论

图形语言

符号语言

作用

判定直线是否

在平面内

判定两个平面

是否相交

点A,B,C不共线点A,B,C确定一个平面

确定一个平面

推论1

点C与直线a

推论2

直线a与直线b确定一个平面

公理4

判断两线平行

三、数学运用

基础训练：

例1已知：

；

求证：

直线AD、BD、CD共面．

证明：

【解题反思1】1。

逻辑要严谨

2．书写要规范

3．证明共面的步骤：

（1）确定平面——公理3及其3个推论

（2）证线“归”面（线在面内如：

）——公理1

（3）作出结论。

变式1、如果三条直线两两相交，那么这三条直线是否共面？

（口答）

变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面？

变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？

练习：

已知直线满足：

直线共面

证明：

提高训练：

已知，求证：

四条直线在同一平面内．

思路分析：

考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。

因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。

证明：

例2：

三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：

这三条直线交于一点.

已知：

平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.

l1、l2、l3相交于一点

拓展训练：

如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:

FC=DH:

HA=2:

3；

EF、GH、BD交于一点．[渗透空间问题平面化思想]

思路1：

开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。

链接生活：

在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状．

【解题反思2】1.逻辑要严谨

3．方法要掌握

（1）证明共面的步骤：

1）确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论

2）证线“归”面（线在面内如：

3）作出结论。

（2）证明共线的步骤：

①证所有点在第一个面内（如平面）——公理1

②证所有点在第二个面内（如平面）——公理1

③结论1：

所有点在两个平面的交线上

④结论2：

所有点共线——公理2

（3）证明共点的步骤：

1）证交于一个点——公理3及3个推论

2）证此点在二个面内（如平面）——公理1

3）结论1：

此点在两个平面的交线上——————公理2

4）结论2：

三条线共点

例3：

如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：

P、Q、R三点共线.

四、回顾小结

本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题．

平面的基本性质的应用有哪些？

（1）公理1主要用来判定直线在平面内，点在平面内．

（2）公理2主要应用是：

①判断两个平面相交；

②证明点在直线上；

③证明三点共线；

④证明三线共点；

⑤画两个平面的交线．

（3）公理3及其推论主要应用：

①确定平面；

②证明两平面重合；

③证明点线共面；

④是作截面、辅助面的依据．

证明共面问题一般有两种方法：

归一法：

（1）先根据题设确定一个平面；

（2）再证明其余的点、线在这个平面内（证点在平面内，常转证这个点所在直线在这个平面内，而证直线在这个平面内，又往往证这条直线上有两点在这个平面内，即运用转化的思想方法）．

重合法：

（1）先根据题设条件确定两个平面或两个以上平面（这些平面必需包括要证共面的所有点线）；

（2）再证以上平面重合．

证明三线共点的基本方法

（1）先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明此点是两直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理知，两平面的公共点在它们的交线上，从而证明了三线共点．

（2）用同一法证明，以两平面的交线为主线，使它和另两条直线分别交于不同的两点，由三角形全等导出线段相等，证明两点重合，得出三线共点．

反馈练习

1、经过同一直线上的3个点的平面（）

A、有且只有1个B、有且只有3个C、有无数个D、有0个

2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）

A、1或2B、2或3C、1或3D、1或2或3

3、与空间四点距离相等的平面共有（）

A、3个或7个B、4个或10个C、4个或无数个D、7个或无数个

4、四条平行直线最多可以确定（）

A、三个平面B、四个平面C、五个平面D、六个平面

5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有个．

6、给出以下四个命题：

①若空间四点不共面，则其中无三点共线；

②若直线l上有一点在平面外，则l在外；

③若直线、、中，与共面且与共面，则与共面；

④两两相交的三条直线共面．

其中所有正确的命题的序号是．

7．点P在直线l上，而直线l在平面内，用符号表示为（）

A．B．C．D．

8．下列推理，错误的是（）

A．

B．

C．

D．

9．下面是四个命题的叙述语（其中A、B表示点，表示直线，表示平面）

①②

③④

其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________．

10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：

直线AB、BC、CA共面．

11、求证：

如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．

直线、、且，，；

直线、、共面．

12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

①AA1与CC1能否确定一个平面？

为什么？

②点B、C1、D能否确定一个平面？

③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线．

13、两两相交且不共点的四条直线共面．（注：

有两种情形，见图，试分别证之）

14、如图9-1-4，已知α∩β＝l，梯形ABCD两底AD、BC，若ABα，CDβ．求证：

AB、CD、l交于一点．

高二年级数学学科总计20课时第2课时

课题直线与直线位置关系

在平面几何中，两直线的位置关系如何？

没有公共点的直线一定平行吗？

问题3：

没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？

异面直线的概念：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

空间两条直线有多少种位置关系？

共面直线

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

[来源:

Zxxk.Com]

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

思考：

如图所示：

正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？

介绍异面直线的作图，如下图：

3、

（1）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

在空间中，是否有类似的规律？

公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：

设a、b、c是三条直线

=>

a∥c

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

例1空间四边形ABCD中，E.F.G.H分别是AB.BC.CD.DA的中点

四边形EFGH是平行四边形

变式：

在例1中如果加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？

∠ADC与A'

D'

C'

、∠ADC与∠A'

B'

的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

学&

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'

∥a、b'

∥b，我们把a'

与b'

所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：

①a'

所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。