推理与证明教案Word格式.docx
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⑶检验猜想。
归纳练习:
(i)由铜、铁、铝、金、银能导电,能归纳出什么结论?
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度,能归纳出什么结论?
(iii)观察等式:
,能得出怎样的结论?
③讨论:
(i)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?
(ii)归纳推理有何作用?
(发现新事实,获得新结论,是做出科学发现的重要手段)
(iii)归纳推理的结果是否正确?
(不一定)
2.教学例题:
1[例1]观察图,可以发现:
1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,…
由上述具体事实能得出怎样的结论?
2出示例题:
已知数列的第1项,且,试归纳出通项公式.
(分析思路:
试值n=1,2,3,4→猜想→如何证明:
将递推公式变形,再构造新数列)
3.小结:
①归纳推理的药店:
由部分到整体、由个别到一般;
②典型例子:
哥德巴赫猜想的提出;
数列通项公式的归纳.
三、巩固练习:
第二课时2.1.1合情推理
(二)
结合已学过的数学实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理.
用归纳和类比进行推理,作出猜想.
一、复习准备:
导入:
鲁班由带齿的草发明锯;
人类仿照鱼类外形及沉浮原理,发明潜水艇;
地球上有生命,火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存,科学家猜测:
火星上有生命存在.以上都是类比思维,即类比推理.
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能
①出示例1:
类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.(得到如下表格)
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法,使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法,使得方程有唯一解
单位元
②出示例2:
类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.
思维:
直角三角形中,,3条边的长度,2条直角边和1条斜边;
→3个面两两垂直的四面体中,,4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”.→拓展:
三角形到四面体的类比.
类比推理的一般步骤:
1.找出两类对象之间可以确切表述的相似特征
2.用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想
3.检测猜想
第三课时2.1.2演绎推理
结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理。
.
了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.
分析证明过程中包含的“三段论”形式.
复习:
合情推理
类比推理的一般步骤:
观察与思考
1.所有的金属都能导电,因为铜是金属,所以铜能够导电.
2.一切奇数都不能被2整除因为(2100+1)是奇数,所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,因为tan三角函数,所以是tan周期函数
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理。
要点:
由一般到特殊的推理。
②讨论:
演绎推理与合情推理有什么区别?
合情推理;
演绎推理:
由一般到特殊.
“三段论”是演绎推理的一般模式:
第一段:
大前提——已知的一般原理;
第二段:
小前提——所研究的特殊情况;
第三段:
结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
④举例:
举出一些用“三段论”推理的例子.
练习
3.比较:
合情推理与演绎推理的区别与联系?
(从推理形式、结论正确性等角度比较;
演绎推理可以验证合情推理的结论,合情推理为演绎推理提供方向和思路.)
•①归纳是由特殊到一般的推理;
②类比是由特殊到特殊的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理.
•从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;
演绎推理得到的结论一定正确.
演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.
第一课时2.2.1综合法和分析法
(一)
结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:
分析法和综合法;
了解分析法和综合法的思考过程、特点.
会用综合法证明问题;
了解综合法的思考过程.
根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.
1.已知“若,且,则”,试请此结论推广猜想.
(答案:
若,且,则)
2.已知,,求证:
先完成证明→讨论:
证明过程有什么特点?
1.教学例题:
已知a,b,c是不全相等的正数,求证:
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
②提出综合法:
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立.
框图表示:
顺推证法;
由因导果.
3.例2:
④出示例3:
在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列.求证:
为△ABC等边三角形.
2.练习:
、
1.已知a,b,c是全不相等的正实数,求证
2为锐角,且,求证:
.(提示:
算)
综合法是从已知的P出发,得到一系列的结论,直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.
1.求证:
对于任意角θ,.(教材P44练习1题)
2.的三个内角成等差数列,求证:
3.作业:
教材P46A组1题.
第二课时2.2.1综合法和分析法
(二)
会用分析法证明问题;
了解分析法的思考过程.
根据问题的特点,选择适当的证明方法.
1.提问:
基本不等式的形式?
2.讨论:
如何证明基本不等式.
(讨论→板演→分析思维特点:
从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件)
求证.
讨论:
能用综合法证明吗?
→如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件?
→板演证明过程(注意格式)
→再讨论:
→比较:
两种证法
②提出分析法:
从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.
逆推证法;
执果索因.
例3:
如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SC
③练习:
设x>
0,y>
0,证明不等式:
先讨论方法→分别运用分析法、综合法证明.
④出示例4:
见教材P48.讨论:
如何寻找证明思路?
(从结论出发,逐步反推)
⑤出示例5:
见教材P49.讨论:
(从结论与已知出发,逐步探求)
分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知,直到所有的已知P都成立;
比较好的证法是:
用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;
或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径.(框图示意)
1.设a,b,c是的△ABC三边,S是三角形的面积,求证:
略证:
正弦、余弦定理代入得:
,
即证:
,即:
,即证:
(成立).
2.作业:
教材P46练习2、3题.
第三课时2.2.2反证法
结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;
了解反证法的思考过程、特点.
会用反证法证明问题;
了解反证法的思考过程.
A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。
则C必定是在撒谎,为什么?
分析:
假设C没有撒谎,则C真.——那么A假且B假;
由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
1.教学反证法概念及步骤:
提出反证法:
一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.
证明基本步骤:
假设原命题的结论不成立→从假设出发,经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立
应用关键:
在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等).
方法实质:
反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个命题与其逆否命题同真假,通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命题真实.
注:
结合准备题分析以上知识.