高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结文档格式.doc
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如果完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要完成所有步骤才能完成这件事,是分步问题,用分步计数原理.
4.排列:
从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(1)排列数:
从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.用符号表示
(2)排列数公式:
用于计算,
或用于证明。
===n(n-1)!
规定0!
=1
5.组合:
一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合
(1)组合数:
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,用表示
(2)组合数公式:
用于计算,
(3)组合数的性质:
①.规定:
;
②=+.
③④
6.二项式定理及其特例:
(1)二项式定理
展开式共有n+1项,其中各项的系数叫做二项式系数。
(2)特例:
.
7.二项展开式的通项公式:
(为展开式的第r+1项)
8.二项式系数的性质:
(1)对称性:
在展开式中,与首末两端“等距”的两个二项式系数相等,即,直线是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值:
当时,二项式系数逐渐增大,由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值。
当是偶数时,在中间一项的二项式系数取得最大值;
当是奇数时,在中间两项,的二项式系数,取得最大值.
9.各二项式系数和:
(1),
(2).
10.各项系数之和:
(采用赋值法)
例:
求的各项系数之和
解:
令,则有,
故各项系数和为-1
第二章概率
知识点:
1、随机变量:
如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示,并且X是随着试验的结果的不同而变化,那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
2、离散型随机变量:
在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量X所有可能的值能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
3、离散型随机变量的分布列:
一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn
X取每一个值xi的概率p1,p2,.....,pi,......,pn,则称表为离散型随机变量X的概率分布,简称分布列
4、分布列性质①pi≥0,i=1,2,…n;
②p1+p2+…+pn=1.
5、二点分布:
如果随机变量X的分布列为:
其中0<
p<
1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布
6、超几何分布:
一般地,设总数为N件的两类物品,其中一类有M件,从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量,则它取值为m时的概率为,
7、条件概率:
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,叫做条件概率.记作P(B|A),读作A发生的条件下B的概率
8、公式:
9、相互独立事件:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
10、n次独立重复试验:
在相同条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立,一般就称它为n次独立重复试验
11、二项分布:
设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数设为X.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,事件A不发生的概率为q=1-p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率是(其中k=0,1,……,n)
于是可得随机变量X的分布列如下:
这样的离散型随机变量X服从参数为n,p二项分布,记作X~B(n,p)。
12、数学期望:
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为
则称为离散型随机变量X的数学期望或均值(简称为期望).
13、方差:
叫随机变量X的方差,简称方差。
14、集中分布的期望与方差一览:
期望
方差
两点分布
二项分布,X~B(n,p)
超几何分布N,M,n
15、正态分布:
若正态变量概率密度曲线的函数表达式为
的图像,其中解析式中的实数是参数,且,分别表示总体的期望与标准差.
期望为与标准差为的正态分布通常记作,正态变量概率密度曲线的函数的图象称为正态曲线。
16、正态曲线基本性质:
(1)曲线在x轴的上方,并且关于直线x=对称.
(2)曲线在x=时处于最高点,并且由此处向左、右两边无限延伸时,曲线逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状.
(3)曲线的形状由确定.越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;
越小,曲线越“高瘦”,表示总体的分布越集中.
17、3原则:
容易推出,正变量在区间以外取值的概率只有4.6%,在以外取值的概率只有0.3%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.