高中数学选修2-1新教学案：第三章空间向量与立体几何检测题文档格式.doc

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A. B. C. D.

6．若二面角为，直线，则所在平面内的直线与所成角的取值范围是_______________________；

7．已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______________.

8.空间四边形中，、分别是、中点.若，，.

则与所成的角为_________________.

9.半球内有一内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内.若正方体的棱长为,

则半球的体积为___.

10.P

在正四棱柱中，,为的中点．

（1）求直线与平面所成的角；

（2）求异面直线与所成的角；

（3）求点到平面的距离．

A1

B1

C1

A

C

B

11.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，，，，.

（1）求证：

平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值；

（3）求点到平面的距离.

12.如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.

（1）求异面直线与所成的角；

（2）求平面与平面所成的二面角；

13.如图，在四面体中，，，，，是线段上一点，，点在线段上，且.

平面；

（2）求二面角的大小.

14.在四棱锥中，，∥，底面，,

直线与底面成角，点、分别是、的中点．

（1）求二面角的大小；

（2）如果△为直角三角形，求的值．

15.如图,已知四棱锥，平面，底面为直角梯形，,且∥，.

（1）点在线段上运动，且设,问为何值时，

∥平面？

并证明你的结论；

（2）若二面角为45°

，求二面角的大小；

（3）在

（2）的条件下，若，，求点到平面的距离.

答案

1.2.3.C4.A5.B

6.7.8.9.

10．

（1）∵平面，平面，

∴.

在矩形中，，，为的中点，

∴.

∴平面，

∴为直线与平面所成的角.

∵，，

∴在中，,

∴直线与平面所成的角为.

（2）取中点，连结、，在正四棱柱中，有∥，

∴为异面直线与所成的角.

在中，

∴.

∴异面直线与所成的角为.（也可用向量法）

（3）过点作于，

由题

（1）平面，

∴,

∴平面,

∴的长即为点到平面的距离.

在中，，,

∴.

11.

（1）证:

∵四边形是矩形，

又∵，

∴平面.

∵平面，∴平面平面.

（2）解：

过作于，连接.

∵平面，

∴，

∴平面，故为直线与平面所成的角.

在矩形中，，

∵四边形是菱形，，，

∴，∴.

（3）∵∥，∴∥平面，

∴到平面的距离即为到平面的距离.

连结，设.

∵四边形是菱形，

∵平面⊥平面，

∴即为到平面的距离.

∵，

∴到平面的距离为.

12.在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴,建立如图示空间直角坐标系.

由已知可得,.

又平面，

从而与平面所成的角为.

又，，.

从而易得.

（1）∵,,

易知异面直线所成的角为

（2）易知平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量.

.

由.即.

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为.

（3）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，

∴距离.

∴点到平面的距离为.

13.（I）证明：

∵,

∴△是以为直角的直角三角形.

同理可证,△是以为直角的直角三角形，

△是以为直角的直角三角形.

故平面.

又∵.

而.

故,又已知.

（II）由（I）知,平面,

∴是在平面上的射影，故.

在平面内，过作垂直于于，

则平面.

是在平面上的射影，∴.

故是二面角的平面角.

∴二面角的大小为.

14．解法一：

（1）为二面角的平面角.

计算得二面角的大小为.

（2）①若，与题意不符；

②若，可算得；

③若，可算得.

解法二：

用向量方法（略）.

15.

（1）当时,∥平面.

证明：

取中点，则∥，且.

又∥,且,

∴四边形为平行四边形.

∴∥.

又平面,

∴∥平面.

（2）平面，,

∴,即是二面角的平面角,.

∴△为等腰直角三角形，∴.

又∥，

∴平面.

平面，

∴平面⊥平面，即二面角的大小为.

（3）在平面内作于点，

由平面⊥平面,且平面平面,

∴平面.

在中,，

在中,,

将代入得,.

即点到平面的距离为.

又,

∴平面,

7