数列综合题常见题型分析Word文件下载.doc

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新课标全国）等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．

（1）设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件知q＞0，故q＝.

由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.

（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.

故＝－＝－2.

＋＋…＋＝－2＝－.

所以数列的前n项和为－.

题后反思：

本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；

对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求和．

考点总结：

使用裂项求和时，要注意正负项相消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项是前后对称的，这特点实质上造成正负相消是此法的根源与目的。

变式练习：

1.数列{an}的各项均为正数Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.

（2）设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：

对于任意的正数n，总有Tn＜1.

（1）解　由已知得（n≥2）．

故2（Sn－Sn－1）＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1（n≥2）．

故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.

又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.

（2）证明　∵bn＝＝－.

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＜1.

2.[2013·

广东]设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．

（1）证明：

a2＝；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有＋＋…＋<

解析：

（1）∵4a1＝a－4－1＝a－5，∴a＝4a1＋5.又a2>

0，∴a2＝.

（2）由题设条件，当n≥2时，

4an＝4（Sn－Sn－1）＝（a－4n－1）－[a－4（n－1）－1]＝a－a－4，

整理得（an＋1－an－2）（an＋1＋an＋2）＝0.

注意到an>

0得an＋1－an＝2，n≥2.

∵a2，a5，a14成等比数列，∴a＝（a2＋6）2＝a2（a2＋24）．解得a2＝3，

∴an＝3＋2（n－2）＝2n－1，n≥2.又由

（1）得a1＝1，故对一切正整数n，有an＝2n－1.

（3）＋＋…＋＝＋＋…＋

＝＝<

3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．

（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.

（1），因为，所以，

∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分

∴，从而.………………6分

（2）因为…………………8分

所以

………10分

由，得，最小正整数为91.…………………12分

4.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：

a2·

a4＝65，a1＋a5＝18.

（1）若1<

i<

21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；

（2）设bn＝，是否存在一个最小的常数m使得b1＋b2＋…＋bn<

m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）{an}为等差数列，∵a1＋a5＝a2＋a4＝18，

又a2·

a4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，

又公差d>

0，∴a2<

a4，∴a2＝5，a4＝13.∴

∴a1＝1，d＝4.∴an＝4n－3.由于1<

21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，

∴a1·

a21＝a，即1·

81＝（4i－3）2，解得i＝3.

（2）由

（1）知，Sn＝n·

1＋·

4＝2n2－n，

所以bn＝＝，

b1＋b2＋…＋bn＝＝，

因＝－<

，所以存在m＝使b1＋b2＋…＋bn<

m对于任意的正整数n均成立．

5.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前n项和为,数列的首项为c，且前n项和满足－=+（n2）.

（1）求数列和的通项公式；

（2）若数列{前n项和为，问>

的最小正整数n是多少?

因为,

,

.

又数列成等比数列，，所以；

又公比，所以；

又,,；

数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，

当，；

n=1时也适合（）；

（2）

由得，满足的最小正整数为112.

6.设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知

．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）求和：

解：

（Ⅰ）由，得，得．①

又，所以，即．②

由①②得，解得，．

所以，．………6分

（Ⅱ）因为，

．………12分

题型二：

错位相减在数列中的应用

山东卷]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ（λ为常数），令cn＝b2n（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Rn.

（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝4S2，a2n＝2an＋1

得解得a1＝1，d＝2，因此an＝2n－1，n∈N*.

（2）由题意知Tn＝λ－，所以n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝－＋＝.

故cn＝b2n＝＝（n－1），n∈N*.

所以Rn＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

＋…＋（n－1）×

，

则Rn＝0×

＋…＋（n－2）×

＋（n－1）×

两式相减得Rn＝＋＋＋…＋－（n－1）×

＝－（n－1）×

＝－，整理得Rn＝4－.所以数列{cn}的前n项和Rn＝4－.

1.2013·

高考山东卷）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.

【思路点拨】　

（1）由于已知{an}是等差数列，因此可考虑用基本量a1，d表示已知等式，进而求出{an}的通项公式．

（2）先求出，进而求出{bn}的通项公式，再用错位相减法求{bn}的前n项和．

【解】

（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得解得

因此an＝2n－1，n∈N*.

（2）由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，

当n＝1时，＝；

当n≥2时，＝1－－（1－）＝.

所以＝，n∈N*.

由

（1）知an＝2n－1，n∈N*，所以bn＝，n∈N*.

所以Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋…＋＋.

两式相减，得Tn＝＋（＋＋…＋）－＝－－，

所以Tn＝3－.

2.已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有.函数，数列的首项.（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令求证：

是等比数列并求通项公式；

（Ⅲ）令，，求数列的前n项和.

解:

（Ⅰ）由①

得②---------1分

由②—①，得

即：

---------2分

由于数列各项均为正数，-3分

即数列是首项为，公差为的等差数列，

数列的通项公式是----------4分

（Ⅱ）由知，所以，

有，即，---------6分

而，

故是以为首项，公比为2的等比数列。

--7分所以-8分

（Ⅲ），-------9分

所以数列的前n项和

-------③

2-------④

③-④得，-

错位相减求数列的前n项和是一类重要方法，应用时抓住数列的特征。

即数列的项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘所得数列的求和问题，所谓错位就是找同类项相减，等比部分求和时注意查清项数

题型三：

公式法求和在数列中的应用：

浙江卷]在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．

（1）求d，an；

（2）若d<

0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.

（1））由题意得a1·

5a3＝（2a2＋2）2，即d2－3d－4＝0.所以d＝－1或d＝4.

所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*.

（2）设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<

0，由

（1）得d＝－1，an＝－n＋11，则

当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－n2＋n.

当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝

：

1.已知为递减的等比数列，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）当时，求证：

…+．

（Ⅰ）是递减数列，…………………………1分

又{-4，-3，-2，0，1，2，3，4}，

……………………………………………………………3分

…………………………………………………………………4分

………………………………………………………………5分

（Ⅱ）解当时，………………………………6分

当时，…………………………………………………………7分

即……………………………………………………………7分

+…+=+…+

…………………12分

分组并项求和

等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列

第二列

第三列

第一行

3

2

10

第二行

6

4

14

第三行

9

8

18

（2）若数列{bn}满足：

bn＝an＋（－1）nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.

解　

（1）当a1＝3时，不合题意；

当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；

当a1＝10时，不合题意．

因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·

3n－1（n∈N*）．

（2）因为bn＝an＋（－1）nlnan＝2·

3n－1＋（－1）nln（2·

3n－1）

＝2·

3n－1＋（－1）n[ln2＋（n－1）ln3]＝2·

3n－1＋（－1）