应用导数研究曲线的切线Word文档格式.doc
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方法规律:
求函数的导数的方法
(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式,然后进行求导,这样可以避免使用商的求导法则,减少运算量.
变式练习:
1.若f(x)=2xf′
(1)+x2,则f′(0)=__________.
解析:
f′(x)=2f′
(1)+2x.令x=1,得f′
(1)=2f′
(1)+2,即f′
(1)=-2.令x=0,
得f′(0)=2f′
(1)=-4.答案:
-4
题型二:
导数的几何意义
[例2]
(1)(2012·
辽宁高考)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
(2)若曲线y=x3+.①求曲线在点P(2,4)处的切线方程;
②求斜率为4的曲线的切线方程.
(1)y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2.
点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),
即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.
解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.
(2)①∵P(2,4)在曲线y=x3+上,且y′=x2,
∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y′|x=2=4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
②设切点为(x0,y0),则切线的斜率k=x=4,x0=±
2.切点为(2,4)或,
∴切线方程为y-4=4(x-2)或y+=4(x+2),即4x-y-4=0或12x-3y+20=0.
互动探究:
若将本例
(2)①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解?
设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,
则切线的斜率k=y′|x=x0=x.∴切线方程为y-=x(x-x0),
即y=x·
x-x+.∵点P(2,4在切线上,∴4=2x-x+\f(4,3),即x-3x+4=0.
∴x+x-4x+4=0.∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0.
∴(x0+1)(x0-2)2=0.解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.
1.求曲线切线方程的步骤:
(1)求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率;
(2)由点斜式方程求得切线方程为y-y0=f′(x0)·
(x-x0).
2.求曲线的切线方程需注意两点
(1)当曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,切线方程为x=x0;
(2)当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
训练:
1.已知点P在曲线f(x)=x4-x上,曲线在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为________.
解析 由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′(x0)=4x-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).答案 (1,0)
题后反思:
本题主要考查导数的几何意义及简单的逻辑推理能力.
2.2.若函数f(x)=-x3+f′
(1)x2-f′
(2)x+5,则曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线l的方程为___.
f′(x)=-x2+f′
(1)·
x-f′
(2),∴
∴f′
(2)=-1,f′
(1)=1.∴f(x)=-x3+x2+x+5,f′(x)=-x2+x+1.
∴f′(0)=1,f(0)=5.∴曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+5.答案:
x-y+5=0
1.曲线y=-在点M处的切线的斜率为( )
A.- B. C.- D.
y′==,所以y′|x===.答案B
2.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A.B.C.D.
y′==≥-1(当且仅当ex=1,即x=0时取等号),即-1≤tanα<0,所以≤α<π.答案:
D
3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( )
A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1
∵y′=2x+a,∴k=y′|x=0=a=1,将(0,b)代入切线:
0-b+1=0.
∴b=1,故a=1,b=1.答案:
A
4.设x∈R,函数f(x)=ex+ae-x的导函数y=f′(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )A.B.-C.ln2D.-ln2
y=f′(x)=ex-ae-x,∵y=f′(x)为奇函数,∴f′(0)=1-a=0,∴a=1,
∴f′(x)=ex-e-x,由ex-e-x=,得ex=2,∴x=ln2.答案:
C
5.若以曲线y=x3+bx2+4x+c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,则实数b的取值范围为__________.
y′=x2+2bx+4,∵y′≥0恒成立,∴Δ=4b2-16≤0,∴-2≤b≤2.答案:
[-2,2]
6.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f′(5)=3,g(5)=4,g′(x)=1,则函数y=的图像在x=5处的切线方程为__________.
由y==h(x)知y′=h′(x)=,
得h′(5)===.
又h(5)===,所以切线方程为y-=(x-5),即5x-16y+3=0.
7.已知′是函数的导函数,如果′是二次函数,′的图象开口向上,顶点坐标为,那么曲线上任一点处的切线的倾斜角的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
由题意知,所以,即,所以,选B.
题型三:
导数几何意义的应用
[例3]已知a为常数,若曲线y=ax2+3x-lnx存在与直线x+y-1=0垂直的切线,则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.
由题意知曲线上存在某点的导数为1,所以y′=2ax+3-=1有正根,
即2ax2+2x-1=0有正根.当a≥0时,显然满足题意;
当a<
0时,需满足Δ≥0,解得-≤a<
0.综上,a≥-.[答案] A
导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面:
(1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值:
k=f′(x0);
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k;
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时,常需设出切点A(x0,f(x0)),利用k=求解.
变式练习
1.[2013·
大纲全国]已知曲线y=x4+ax2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a=( )
A.9 B.6 C.-9 D.-6
由题意知y′|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8,则a=-6.故选D项.
2.[2014·
新乡月考]设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=( )
A.2B.C.-D.-2
y′==,点(3,2)处切线斜率k=-,∵切线与直线ax+y+1=0垂直,∴a=-2.答案:
3.[2014·
长春三校联考]若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.
过点P作y=x-2的平行直线,且与曲线y=x2-lnx相切,设P(x0,x-lnx0),
则k=y′|x=x0=2x0-,∴2x0-=1,∴x0=1或x0=-(舍去).∴P(1,1),
∴d==.答案:
B
4.[2013·
广东]若曲线y=ax2-lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=__________.
由曲线在点(1,a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0,由y′=2ax-及导数的几何意义得y′|x=1=2a-1=0,解得a=.答案:
5.[2013·
江西]若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=__________.
切线斜率k==2,又y′=αxα-1,y′|x=1=α,故α=2.答案:
2
6.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为
A.B.C.D.
在点的切线斜率为.故切线方程为,即,与坐标轴的交点坐标为,故三角形的面积为,选B.
7.已知函数的图象与直线交于点P,若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为,则++…+的值为( )
A.-1B.1-log20132012 C.-log20132012 D.1
函数的导数为,所以在处的切线斜率为,
故切线斜率为,令得,故,所以,选A.
8.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:
曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.
又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.
(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-=(x-x0).
令x=0得y=-,从而得切线与直线x=0的交点坐标为.
令y=x得y=x=2x0.从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为|2x0|=6.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值6。
9.设Q是曲线T:
上任意一点,是曲线T在点Q处的切线,且交坐标轴于A,B两点,则OAB的面积(O为坐标原点)
A.为定值2B.最小值为3C.最大值为4D.与点Q的位置有关
【知识点】导数的几何意义;
三角形的面积.
设Q,,则,∴,
∴曲线C在点P处的切线方程为:
整理,得
∴△OAB的面积故选:
A.
【思路点拨】曲线C在点P处的切线方程为求出,由此得到△OAB的面积为定值.
6