基本不等式试题Word文档格式.docx

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A．60件B．80件C．100件D．120件

6．点（x，y）在直线x＋3y－2＝0上移动时，z＝3x＋27y＋3的最小值为（　　）

A.B．3＋2C．6D．9

7．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（　　）

A．x＝B．x≤C．x＞D．x≥

8．已知正数a，b满足4a＋b＝30，使得＋取最小值的实数对（a，b）是（　　）

A．（5，10）B．（6，6）C．（10，5）D．（7，2）

9．不等式≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

10．已知x>

0，y>

0，且x＋y＝8，则（1＋x）（1＋y）的最大值为（　　）

A．16B．25C．9D．36

11．若x，y是正数，则＋的最小值是（　　）

A．2B.C．4D.

12．给出下列语句：

①若a，b为正实数，a≠b，则a3＋b3＞a2b＋ab2；

②若a，b，m为正实数，a＜b，则＜；

③若＞，则a＞b；

④当x∈时，sinx＋的最小值为2，其中结论正确的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

二、填空题

13．已知x>

0，lgx＋lgy＝1，则z＝＋的最小值为________．

14．函数f（x）＝lgx＋（0＜x＜1）的最大值是________，当且仅当x＝________时取等号．

15．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

16．已知a＞b＞0，则a2＋取最小值时b的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值；

（2）已知x＞2，求y＝x＋的最小值；

（3）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值．

18．（本小题满分12分）过点P（2，1）的直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点，求△AOB的面积S的最小值．

19.（本小题满分12分）设x，y满足约束条件，若目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）的最大值为8.

（1）求＋的最小值；

（2）求a2＋16b2－4ab的最小值．

20.（本小题满分12分）是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？

证明你的结论．

参考答案与解析

1．　【解析】选D.特值法：

取a＝b＝－1可排除A、B、C选项．

2．【解析】选D.因为a＞1，所以a－1＞0，a＋＝（a－1）＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a－1＝，即a＝2时，等号成立，故选D.

3．【解析】选A.因为x＞0，

所以f（x）＝＋3x≥2＝12，

当且仅当＝3x，即x＝2时取等号．

4．【解析】选B.因为0＜x＜2，所以0＜1－＜1，

所以y＝x＝2·

≤

2＝，当且仅当＝1－，即x＝1时，等号成立，故选B.

5．　【解析】选B.因为生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和为800＋·

x，

所以平均每件费用y＝

＝＋≥20，

当且仅当＝，即当x＝80件时，ymin＝20.

6．【解析】选D.因为x＋3y＝2，

所以z＝3x＋33y＋3≥2×

＋3

＝2＋3＝9.

当且仅当x＝3y即x＝1，y＝时取等号．

7．【解析】选B.A（1＋x）2＝A（1＋a）（1＋b），从而（1＋x）2＝（1＋a）·

（1＋b）≤＝，所以x≤.

8．【解析】选A.＋＝（4a＋b）＝≥

＝，

当且仅当即时等号成立．故选A.

9．　【解析】选B.＝＝a＋1＋≥a＋1＋2＝（＋1）2，当且仅当x＝y时等号成立，所以的最小值为（＋1）2，于是（＋1）2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.

10．【解析】选B.（1＋x）（1＋y）≤＝＝＝25，

因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，（1＋x）（1＋y）取最大值25，故选B.

11．【解析】选C.＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.

当且仅当x＝y＝时，式子取得最小值4.

12．【解析】选C.本题①中作差变形后可得：

a3＋b3－a2b－ab2＝（a－b）2（a＋b），由于a，b为正实数，a≠b，所以（a－b）2（a＋b）＞0，即①正确；

对于②用赋值法很容易判断其错误，如a＝1，b＝2，m＝1，符合条件但结论不正确；

对于③，利用不等式的性质，在不等式两边同时乘c2，不等号的方向不改变，故正确；

对于④，利用基本不等式成立的条件“一正，二定，三相等”的第三点不成立，取不到“＝”，故④错误．综合得正确的有①，③两个，从而选C.

13．　【解析】由已知条件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.

则＋≥2＝2，

故＝2，

当且仅当2y＝5x时取等号．

又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立．

【答案】2

14．【解析】因为0＜x＜1，所以lgx＜0，

所以－lgx＞0，

f（x）＝lgx＋＝－

≤－2＝－4.

当且仅当－lgx＝，

即lgx＝±

2时，取“＝”．

又因为lgx＜0，所以lgx＝－2，此时x＝.

【答案】－4　

15．【解析】因为x＞0，所以x＋≥2（当且仅当x＝1时，等号成立），所以

＝≤＝，

即的最大值为，故a≥.

【答案】

16．【解析】因为a＞b＞0，所以0＜b（a－b）≤＝，当且仅当b＝a－b，即b＝时等号成立，所以≥＝，所以a2＋≥a2＋≥2＝32，当且仅当a2＝，即a＝4时等号成立，此时b＝＝2.

17．【解】

（1）因为x＞0，所以x＋≥4，

所以y＝2－≤2－4＝－2，

所以当且仅当x＝（x＞0），

即x＝2时，ymax＝－2.

（2）因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4.所以当且仅当x－2＝（x＞2），即x＝3时，ymin＝4.

（3）因为0＜x＜，所以1－2x＞0，所以y＝×

2x·

（1－2x）≤＝，所以当且仅当2x＝1－2x，

即x＝时，ymax＝.

18．【解】设直线l的方程为y－1＝k（x－2）（显然k存在，且k≠0）．

令y＝0，可得A；

令x＝0，可得B（0，1－2k）．

因为A，B都在正半轴上，

所以2－＞0且1－2k＞0，可得k＜0.

所以S△AOB＝|OA|·

|OB|＝

（1－2k）

＝＝－2k＋＋2

≥2＋2＝4，

当且仅当k2＝，即k＝－时，S△AOB取得最小值4.

19．【解】

作出不等式组表示的平面区域，如图，作直线l0：

ax＋by＝0，

平移l0，由图可知，当直线经过点A（1，4）时，zmax＝ax＋by＝a＋4b＝8.

（1）因为a＞0，b＞0，则＋＝（a＋4b）·

＝≥＝（5＋4）＝，

当且仅当＝＝2，即a＝，b＝时取等号，

所以＋的最小值为.

（2）因为a＋4b＝8，a＞0，b＞0，

所以a＋4b≥2＝4，

所以ab≤4.

又因为a2＋16b2≥＝32，

所以a2＋16b2－4ab≥32－16＝16，当且仅当a＝4b＝4，即a＝4，b＝1时取等号，

所以a2＋16b2－4ab的最小值为16.

20【解】当x＝y时，由已知不等式得c＝.下面分两部分给出证明：

（1）先证＋≤，此不等式⇔

3x（x＋2y）＋3y（2x＋y）≤2（2x＋y）（x＋2y）

⇔2xy≤x2＋y2，此式显然成立．

（2）再证＋≥，此不等式⇔3x（2x＋y）＋3y（x＋2y）≥2（x＋2y）（2x＋y）

⇔x2＋y2≥2xy，此式显然成立．

综上可知，存在常数c＝，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立．