同角三角函数基本关系与诱导公式Word文档格式.doc

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（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

＋α

正弦

sinα

－sinα

cosα

余弦

－cosα

正切

tanα

－tanα

不要求

对于角“±

α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说±

α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；

当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”

究疑点

有人说sin（kπ－α）＝sin（π－α）＝sinα（k∈Z），你认为正确吗？

提示：

不正确．当k＝2n（n∈Z）时，sin（kπ－α）＝sin（2nπ－α）＝sin（－α）＝－sinα；

当k＝2n＋1（n∈Z）时，sin（kπ－α）＝sin[（2n＋1）·

π－α]＝sin（2nπ＋π－α＝sin（π－α）＝sinα.

典型例题

【考点一】同角三角函数关系式的应用

★1．（2009北京9）若，则.

【答案】

【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.

由已知，在第三象限，∴，∴应填.

★★2.（2011北京9）在中。

若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；

a=_______________。

★★★3．已知sinα－cosα＝，则sinα·

cosα＝________.

答案：

★★★4．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.

（1）求tanα的值；

（2）把用tanα表示出来，并求其值．

解：

（1）法一：

联立方程

由①得cosα＝－sinα，将其代入②，

整理得25sin2α－5sinα－12＝0.

∵α是三角形内角，∴，

∴tanα＝－

法二：

∵sinα＋cosα＝，

∴（sinα＋cosα）2＝（）2，

即1＋2sinαcosα＝，

∴2sinαcosα＝－，

∴（sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.

∵sinαcosα＝－<

0，且0<

α<

π，∴sinα>

0，cosα<

0，

∴sinα－cosα>

∴sinα－cosα＝，由，得，

∴tanα＝－..

（2）＝＝＝.

∵tanα＝－，

∴＝＝＝－.

【变式之作】

★★（2009辽宁卷）已知，则

（A） （B） （C） （D）

【解析】

＝＝

【答案】D

[归纳领悟]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：

对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα，可以知一求二．3．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：

“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．注意公式逆用及变形应用：

1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.

【考点二】诱导公式的应用

★1．（2010全国卷1）

（1）

（A）（B）-（C）（D）

1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识

★2.（2009全国卷Ⅰ）的值为

（A）（B）（C）（D）

【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。

，故选择A。

★★3．已知tanθ＝2，则＝（　　）

A．2 B．－2C．0 D.

解析：

＝＝＝＝＝－2.答案：

B

★★★4．求值：

sin（－1200°

）·

cos1290°

＋cos（－1020°

sin（－1050°

）＋tan945°

.

原式＝－sin1200°

·

＋cos1020°

（－sin1050°

＝－sin120°

cos210°

＋cos300°

（－sin330°

）＋tan225°

＝（－sin60°

（－cos30°

）＋cos60°

sin30°

＋tan45°

＝×

＋×

＋1＝2.

★★★5．化简

（1）＋；

（2），k∈Z.

（1）原式＝＋＝＋＝.

（2）当k为偶数时，记k＝2n（n∈Z），

原式＝

＝＝＝－1；

当k为奇数时，记k＝2n＋1（n∈Z），

＝＝＝－1.

综上，原式＝－1.

★★★已知cos（π＋α）＝－，且α是第四象限角，计算：

（1）sin（2π－α）；

（2）（n∈Z）．

∵cos（π＋α）＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.

又∵α是第四象限角，∴sinα＝－＝－.

（1）sin（2π－α）＝sin[2π＋（－α）]＝sin（－α）＝－sinα＝；

（2）＝

＝＝＝＝－＝－4.

[归纳领悟]利用诱导公式化简求值时的原则为：

1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．

2．“大化小”，利用公式一将大于360°

的角的三角函数化为0°

到360°

的三角函数，利用公式二将大于180°

到180°

的三角函数．

3．“小化锐”，利用公式六将大于90°

的角化为0°

到90°

的角的三角函数．

4．“锐求值”，得到0°

到90°

的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

【考点三】诱导公式在三角形中的应用

★1．△ABC中，cosA＝，则sin（B＋C）＝________.

∵△ABC中，A＋B＋C＝π，∴sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA＝＝.

★★2．已知在△ABC中，sinA＋cosA＝，

（1）求sinA·

cosA；

（2）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形．

（1）∵sinA＋cosA＝，∴两边平方得1＋2sinA·

cosA＝，∴sinA·

cosA＝－.

（2）由

（1）知sinA·

cosA＝－＜0，且0＜A＜π，可知cosA＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形．

★★★3．在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cosA＝－cos（π－B），求△ABC的三个内角．

由已知得①2＋②2得2cos2A＝1，即cosA＝±

.

（1）当cosA＝时，cosB＝，又A、B是三角形的内角，∴A＝，B＝，∴C＝π－（A＋B）＝π.

（2）当cosA＝－时，cosB＝－.又A、B是三角形的内角，∴A＝π，B＝π，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝π.

★★★4（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线，各段弧所在的圆经过同一点（点不在上）且半径相等.设第段弧所对的圆心角为，则____________.

又，所以

★★★5（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=,A+C=2B,则sinC=.

解：

由A+C=2B及A+B+C=180°

知，B=60°

．由正弦定理知，，即．由知，，则,

，

[归纳领悟]1．诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有：

A＋B＝π－C；

2A＋2B＋2C＝2π；

＋＋＝.2．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角．

巩固训练

一、把脉考情

从近两年的高考试题来看，同角三角函数基本关系及诱导公式是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；

主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测2012年高考仍将以含π±

α，±

α的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系为主要考点，重点考查运算能力与恒等变形能力．

二、考题诊断

★★1．（2010·

全国卷Ⅱ）已知sinα＝，则cos（π－2α）＝（　　）

A．－　　B．－C. D.

cos（π－2α）＝－cos2α＝－（1－2sin2α）＝2×

（）2－1＝－.答案：

B

★★2．（2010·

全国卷Ⅱ）记cos（－80°

）＝k，那么tan100°

＝（　　）

A. B．－C. D．－

cos（－80°

）＝cos80°

＝k，sin80°

＝，tan80°

＝，tan100°

＝－tan80°

＝－，故选B.

★★3．（2009·

全国卷Ⅰ）sin585°

的值为（　　）

A．－　　　　　　　　 B.

C．－ D.

[解析]　sin585°

＝sin（360°

＋225°

）＝sin（180°

＋45°

）＝－sin45°

＝－，故选择A.

[答案]　A

★★4．α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝（　　）

A. B．－

C. D．－

[解析]　∵tanα＝＝－，又由sin2α＋cos2α＝1得sinα＝±

，又α是第四象限角，∴sinα＝－.[答案]　D

★★★5.（2009北京理）“”是“”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.当时，反之，当时，有，或，

★★6（2009陕西卷文）若,则的值为

（A）0（B）（C）1（D）

B.解析:

利用齐次分式的意义将分子分母同时除以得,

故选B.

★7．（2010·

全国卷Ⅱ）已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.

由α是第二象限的角且tanα＝－，得cosα＝－＝－.

★★8.（2009北京文）（本小题共12分）已知函数.

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．

（Ⅰ）∵，∴函数的最小正周期为.（Ⅱ）由，∴，

∴在区间上的最大值为1，最小值为.

★★9．已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝.

（1）求sinx－cosx的值；

（2）求的值．

[解]　

（1）联立方程

由①得sinx＝－cosx，将其代入②，整理得cosx＝－或cosx＝.因为－＜x＜0，所以

故sinx－cosx＝－.