初高中数学衔接教材(共28页)Word格式.doc
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解法一:
原式=
=
=.
解法二:
例2已知,,求的值.
解:
.
练习
1.填空:
(1)();
(2);
(3) .
2.选择题:
(1)若是一个完全平方式,则等于()
(A)(B)(C)(D)
(2)不论,为何实数,的值()
(A)总是正数(B)总是负数
(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数
因式分解的主要方法有:
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1分解因式:
(1)x2-3x+2;
(2)x2+4x-12;
(3);
(4).
说明:
(2)x2+4x-12=(x-2)(x+6).
(3)-1
1
x
y
图1.1-5
=
(4)=xy+(x-y)-1
=(x-1)(y+1)(如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)__________________________________________________。
(2)__________________________________________________。
(3)__________________________________________________。
(4)__________________________________________________。
(5)__________________________________________________。
(6)__________________________________________________。
(7)__________________________________________________。
2、
3、若则,。
二、选择题:
(每小题四个答案中只有一个是正确的)
1、若多项式可分解为,则、的值是()
A、,B、,C、,D、,
2、若其中、为整数,则的值为()
A、或B、C、D、或
2.提取公因式法
例2分解因式:
(1)
(2)
(1).=
(2)==
=.或
===
==
3:
公式法
例3分解因式:
(1)
(2)
(1)=
(2)=
一、,,的公因式是______________________________。
4.分组分解法
例4
(1)
(2).
(2)=
==.
或
=
=
=.
2.1.2根与系数的关系(韦达定理)
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=,x1·
x2=.这一关系也被称为韦达定理.
例1已知方程的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
例2已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.
设x1,x2是方程的两根,由韦达定理,得
x1+x2=-2(m-2),x1·
x2=m2+4.
∵x12+x22-x1·
x2=21,
∴(x1+x2)2-3x1·
即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,
化简,得m2-16m-17=0,
解得m=-1,或m=17.
当m=-1时,方程为x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意;
当m=17时,方程为x2+30x+293=0,Δ=302-4×
1×
293<0,不合题意,舍去.综上,m=17.
例3若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根.
(1)求|x1-x2|的值;
(2)求的值;
(3)x13+x23.
解:
∵x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x-3=0的两根,
∴,.
(1)∵|x1-x2|2=x12+x22-2x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=
=+6=,
∴|x1-x2|=.
(2).
(3)x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]
=(-)×
[(-)2-3×
()]=-.
例6若关于x的一元二次方程x2-x+a-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数a的取值范围.
设x1,x2是方程的两根,则
x1x2=a-4<0,①
且Δ=(-1)2-4(a-4)>0.②
由①得a<4,
由②得a<.∴a的取值范围是a<4.
练习
1.选择题:
若关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是()
(A)m<(B)m>-(C)m<,且m≠0(D)m>-,且m≠0
2.填空:
(1)若方程x2-3x-1=0的两根分别是x1和x2,则=.
(2)方程mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是.
2.2二次函数
2.2.1二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a决定了二次函数图象的开口大小及方向;
h决定了二次函数图象的左右平移,而且“h正左移,h负右移”;
k决定了二次函数图象的上下平移,而且“k正上移,k负下移”.
例1已知函数y=x2,-2≤x≤a,其中a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值.
分析:
本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对a的取值进行讨论.
(1)当a=-2时,函数y=x2的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是4,此时x=-2;
(2)当-2<a<0时,由图2.2-6①可知,当x=-2时,函数取最大值y=4;
当x=a时,函数取最小值y=a2;
(3)当0≤a<2时,由图2.2-6②可知,当x=-2时,函数取最大值y=4;
当x=0时,函数取最小值y=0;
(4)当a≥2时,由图2.2-6③可知,当x=a时,函数取最大值y=a2;
当x=0时,函数取最小值y=0.
2.2.2二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
1.一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
2.顶点式:
y=a(x+h)2+k(a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
3.交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的
例1已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a(a≠0).
(2)二次函数y=-x2+2x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为.
第三讲三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
图3.2-1
图3.2-2
如图3.2-1,在三角形△ABC中,有三条边,三个顶点,在三角形中,角平分线、中线、高(如图3.2-2)是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.(如图3.2-5)
图3.2-5
三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图3.2-8)
图3.2-8
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆,该圆是三角形ABC的外接圆,圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.
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