(人教版)第二十一章+一元二次方程(知识点汇总+归类总结+题型汇总).docx

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知识点汇总+归类总结+题型汇总

第二十一章一元二次方程

一、一元二次方程的概念

1．只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是__________，这样的整式方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是________________．

二、一元二次方程的解法

1．解一元二次方程的基本思想是，

主要方法有：

直接开平方法、__________、公式法、__________.

2．配方法：

通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为2＝__________的形式，再利用直接开平方法求解．

3．公式法：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）当b2－4ac≥0时，x＝____________.

4．用因式分解法解方程的原理是：

若a·b＝0，则a＝0或__________．

三、一元二次方程根的判别式

1．一元二次方程根的判别式是__________．

2．

（1）b2－4ac＞0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；

（2）b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个__________实数根；

（3）b2－4ac＜0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）__________实数根．

四、一元二次方程根与系数的关系

1．在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式．

2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝__________，x1x2＝__________.

注意：

（1）

（2）；

五、实际问题与一元二次方程

列一元二次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题；

（2）设未知数；（3）找__________；（4）列方程；（5）__________；（6）检验；（7）写出答案．

一元二次方程的定义：

1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A．x2＋＝0B．ax2＋bx＋c＝0C．（x－1）（x＋2）＝1D．3x2－2xy－5y2＝0

2.下列方程中，无论取何值，总是关于x的一元二次方程的是（）

A.B.

C.D.

3.关于x的一元二次方程（a2—1）x2+x—2=0是一元二次方程，则a满足（）

A.a≠1B.a≠—1C.a≠±1D.为任意实数

4.一元二次方程化为一般形式为：

，

二次项系数为：

，一次项系数为：

，常数项为：

。

5.关于x的方程,当时为一元一次方程；

当时为一元二次方程。

6.关于的方程的一个根为-1，则方程的另一个根为______，______。

。

7.已知m是方程的一个根，则______________。

8.关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（）

A.B.C.或D.0

解一元二次方程：

1.选用合适的方法解下列方程

3＝0

2.配方法解方程x2—4x+2=0，下列配方正确的是（）

A． B． C． D．

3.解方程（5x—1）2=3（5x—1）的适当方法是（）

A．开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法

4.等腰三角形的底和腰分别是方程的两个根，则这个三角形的周长是（）

A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定

5.若方程中，满足和，则方程的根是（）

A.1，0B.-1，0C.1，-1D.无法确定

6.关于x的方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）

A．a≥1B．a＞1且a≠5C．a≥1且a≠5D．a≠5

7.用配方法解方程,则下列配方正确的是（）

A.B.C.D.

8.x2+3x+=（x+）2；x2—+2=（x）2

9.若，则=

10.当_________时，方程的一个根是2

11.代数式的最小值是__________

12.请写出一个以2和4为根的一元二次方程_______________________

13.如果x2－2（m+1）x+m2+5=0是一个完全平方公式，则m　　　　.

14.当m为　　　　时，关于x的方程（x－p）2+m=0有实数解.

根与系数的关系：

切记：

不要忽略≠0

注意：

一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围．

1.关于x的一元二次方程x2＋kx－1=0的根的情况是（）

A、有两个不相等的同号实数根B、有两个不相等的异号实数根[来源:

学科网ZXXK][来源:

学科网]

C、有两个相等的实数根　　D、没有实数根

2．已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a＜2B．a＞2[来源:

学|科|网Z|X|X|K]C．a＜2且a≠1D．a＜－2

3.关于x的一元二次方程x2＋（m－2）x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（　　）

A．0B．8C．4±D．0或8

4.已知三角形的两边长是方程x2—5x+6=0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（）

A.1＜L＜5B.2＜L＜6C.5＜L＜9D.6＜L＜10

5.方程x2—9x+18=0的两个根是等腰三角形的底边长和一腰长，则这个三角形的周长为（）

A.12B.12或15C.15D.不能确定

6.若x1，x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则x1x2的值是（　　）

A．4B．3C．－4D．－3

7.若是关于的一元二次方程的根，且≠0，则的值为（）

A.B.1C.D.

8.设是方程的较大的一根，是方程的较小的一根，则（   ）

 A.—4        B. —3      C.1              D.2

9.已知关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.

（1）求k的取值范围；

（2）若|x1＋x2|＝x1x2－1，求k的值．

10.已知方程

（1）求证方程必有相异实根。

（2）取何值时，方程有两个正根。

（3）取何值时，两根相异，并且负根的绝对值较大？

（4）取何值时，方程有一根为零？

11.已知是三角形的三条边，求证：

关于的方程没有实数根.

一元二次方程解决实际问题：

【增长率（降低率）】总结：

增长率问题：

起始值a，终止值b，变化率x

上升a（1+x）2=ba（1+x）n=b

下降a（1—x）2=ba（1—x）n=b

1.某商品连续两次降价10%以后的售价为a元，则该商品的原价为元。

2.某小区准备在两幢楼房之间开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽10米，设长方形绿地的宽为米，则可列方程为___________

3.某同学存入300元的活期储蓄，存满三个月时取出（利息按单利息计算），共得本息和为302.16元，则活期储蓄的月利率为（）

A、0.24%；B、0.24；C、0.72；D、0.82。

4.县化肥厂第一季度增产吨化肥，以后每季度比上一季度增产x，则第三季度化肥增产的吨数为（）

A．B．C．D．

5.某商品原价200元，连续两次降价％后售价为148元，下列所列方程正确的是（）

A．200=148B．200=148

C．200=148D．200=148

6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有（）人.

A．12B．10C．9D．8

7.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,求这种药品平均每次降价的百分率是多少?

8.某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?

【数字问题】

【规律】两位数=十位数上的数字×10+个位数字；

三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字。

（一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数。

）

1.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置之后，得到新的两位数比原来两个数字的积还大38，求这个两位数。

【利润问题】解决利润问题常用的关系有：

①利润=售价—进价；

②利润率=利润／进价×100％=（售价—进价）／进价×100％；

③售价=进价（1+利润率）；④总利润=单个利润×销售量=总收入—总支出。

1.某商场人员在销售中发现“宝乐”牌童装每天可销售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取降价措施，扩大销售量，增加利润，减少库存。

市场调查发现，如果童装每降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天在销售这种童装的上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

2.将进价为40元的商品按照50元出售时，每月能卖500个，已知该商品煤涨价1元，其每月销售量就减少10个，为了每个月获8000元利润，售价应定在多少元？

进货量为多少？

3.某玩具店采购员第一次用去100元采购了“企鹅