一元二次不等式及其解法(二)Word下载.docx

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（3）将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过）；

（4）根据曲线显现出的f（x）值的符号变化规律，写出不等式的解集．

思考　（x－1）（x－2）（x－3）2（x－4）＞0的解集为______________．

答案　{x|1＜x＜2或x＞4}

解析　利用数轴穿根法

知识点三　一元二次不等式恒成立问题

对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路：

（1）转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>

0（a≠0）恒成立⇔

ax2＋bx＋c<

（2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：

k≥f（x）恒成立⇔k≥f（x）max；

k≤f（x）恒成立⇔k≤f（x）min.

题型一　分式不等式的解法

例1　解下列不等式：

（1）＜0；

（2）≤2.

解　

（1）由＜0，得＞0，

此不等式等价于（x＋4）（x－3）＞0，

∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}．

（2）方法一　移项得－2≤0，

左边通分并化简有≤0，即≥0，

同解不等式为

∴x＜2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．

方法二　原不等式可化为≥0，

此不等式等价于①

或②

解①得x≥5，解②得x＜2，

跟踪训练1　不等式<

2的解集为（　　）

A．{x|x≠－2} B．R

C．∅ D．{x|x<

－2或x>

2}

答案　A

解析　∵x2＋x＋1＝2＋＞0，∴原不等式⇔x2－2x－2<

2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>

0⇔（x＋2）2>

0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．

题型二　解一元高次不等式

例2　解下列不等式：

（1）x4－2x3－3x2＜0；

（2）1＋x－x3－x4＞0；

（3）（6x2－17x＋12）（2x2－5x＋2）＞0.

解　

（1）原不等式可化为x2（x－3）（x＋1）＜0，

当x≠0时，x2＞0，

由（x－3）（x＋1）＜0，得－1＜x＜3；

当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．

∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}．

（2）原不等式可化为（x＋1）（x－1）（x2＋x＋1）＜0，

而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0，

∴原不等式等价于（x＋1）（x－1）＜0，

∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}．

（3）原不等式可化为（2x－3）（3x－4）（2x－1）（x－2）＞0，

进一步化为（x－2）＞0，

如图所示，得原不等式的解集为

.

跟踪训练2　若不等式x2＋px＋q＜0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式＞0的解集是（　　）

A．（1,2）

B．（－∞，－1）∪（6，＋∞）

C．（－1,1）∪（2,6）

D．（－∞，－1）∪（1,2）∪（6，＋∞）

答案　D

解析　由题意知x2＋px＋q＝（x－1）（x－2），则待解不等式等价于（x－1）（x－2）（x2－5x－6）＞0⇒（x－1）（x－2）（x－6）（x＋1）＞0⇒x＜－1或1＜x＜2或x＞6.

题型三　不等式恒成立问题

例3　对任意的x∈R，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋（5－2a）的值恒大于0，则a的取值范围为________．

答案　－2＜a＜2

解析　由题意知，f（x）开口向上，故要使f（x）＞0恒成立，

只需Δ＜0即可，

即（a－4）2－4（5－2a）＜0，

解得－2＜a＜2.

跟踪训练3　对任意a∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是（　　）

A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3

C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2

答案　B

解析　f（x）＞0，∴x2＋（a－4）x＋4－2a＞0，

即（x－2）a＋（x2＋4－4x）＞0，

设g（a）＝（x－2）a＋（x2－4x＋4）

由题意知，即

∴x＜1或x＞3.

题型四　一元二次不等式在生活中的应用

例4　某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；

（2）要使此项税收在征税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

解　

（1）降低后的征税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万吨，收购总金额为200a（1＋2x%）．

依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%

＝a（100＋2x）（10－x）（0＜x＜10）．

（2）原计划税收为200a·

10%＝20a（万元）．

依题意得，a（100＋2x）（10－x）≥20a×

83.2%，

化简得x2＋40x－84≤0，

∴－42≤x≤2.

又∵0＜x＜10，

∴0＜x≤2.

∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．

跟踪训练4　在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：

S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.

问超速行驶谁应负主要责任．

解　由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x2>

12，

S乙＝0.05x＋0.005x2>

10.

分别求解，得

x<

－40或x>

30.

－50或x>

40.

由于x>

0，从而得x甲>

30km/h，x乙>

40km/h.

经比较知乙车超过限速，应负主要责任．

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于（　　）

A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}

C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤1}

2．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<

0}＝∅，则实数a的值的集合是（　　）

A．{a|0<

a<

4} B．{a|0≤a<

4}

C．{a|0<

a≤4} D．{a|0≤a≤4}

3．不等式＞0的解集为______________________．

4．设x2－2x＋a－8≤0对于任意x∈（1,3）恒成立，求a的取值范围．

5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；

若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？

一、选择题

1．不等式≥0的解集为（　　）

A．{x|－1＜x≤1} B．{x|－1≤x＜1}

C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1＜x＜1}

2．不等式＜0的解集为（　　）

A．{x|－1＜x＜2或2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}

C．{x|2＜x＜3}D．{x|－1＜x＜2}

3．不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－1,3）B．（－∞，－1）∪（3，＋∞）

C．（－3,1）D．（－∞，－3）∪（1，＋∞）

4．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈（0,1]恒成立，则m的最大值为（　　）

A．1B．－1C．－3D．3

5．在R上定义运算⊙：

A⊙B＝A（1－B），若不等式（x－a）⊙（x＋a）＜1对任意的实数x∈R恒成立．则实数a的取值范围为（　　）

A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2

C．－＜a＜ D．－＜a＜

6．下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）B．（－1,0）C．（0,1）D．（1，＋∞）

7．若关于x的不等式ax－b＞0的解集为（1，＋∞），则关于x的不等式＞0的解集为（　　）

A．（－∞，－2）∪（1，＋∞） B．（1,2）

C．（－∞，－1）∪（2，＋∞） D．（－1,2）

二、填空题

8．不等式≤0的解集为__________________．

9．当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．

10．若关于x的不等式＞0的解集为（－∞，－1）∪（4，＋∞），则实数a＝________.

三、解答题

11．关于x的不等式＜2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．

12．已知关于x的不等式＜1.

（1）当a＝1时，解该不等式；

（2）当a＞0时，解该不等式．

13．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%（即每百元征收P元）时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：

（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；

（2）在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；

（3）若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．

当堂检测答案

1．答案　B

解析　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，

∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．

2．答案　D

解析　a＝0时符合题意．a>

0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<

a≤4}，综上，得{a|0≤a≤4}，故选D.

3．答案　{x|－4＜x＜－3或x＞－1}

解析　原式可转化为

（x＋1）（x＋2）2（x＋3）（x＋4）＞0，

根据数轴穿根法，解集为－4＜x＜－3或x＞－1.

4．解　原不等式x2－2x＋a－8≤0转化为a≤－x2＋2x＋8对任意x∈（1,3）恒成立，

设f（x）＝－x2＋2x＋8，易知f（x）在[1,3]上的最小值为f（3）＝5.

∴a≤5.

5．解　设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2（x－15）]，由题意知，当x≥15时，有x[30－2（x－15）]＞400，解得：

15≤x＜20.

所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x∈[15,20）．

课时精练答案

解析　原不等式⇔

∴－1≤x＜1.

2．答案　A

∴－1＜x＜3且x≠2.

3．答案