庞加莱映射Word下载.doc
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波耳（Vanderpol）方程
（2.19.1）
所描述的非线性有阻尼的自激振动系统，其中是一个小的正的参量，是常数。
下面简称范·
波耳方程为VDP方程
在VDP方程中，增加外驱动力项所得到的方程
（2.19.2）
称强迫VDP方程，其中外驱动力的振幅，角频率分别是V和，试研究强迫VDP方程的行为
2.实验目的和要求
⑴演示VDP方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产生稳定的周期性运动
⑵采用庞加莱映像，演示强迫VDP方程在不同参数下所存在四种吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子
⑶对于强迫VDP方程，在V和为定值条件下，逐渐增大值，将出现周期倍分岔和混浊现象
3.解题分析
自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统，在运动过程中伴随有能量损耗，但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈调节，及时适量地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动称为自激振动
对VDP方程，可从机械振动角度理解，是阻尼系数，它是变化的，如果，则阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少，但如果，则发生负阻尼，意味着不仅不消耗系统的能量，反而给系统提供能量。
此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从而系统作稳定的周期振动
取方程中的，，（这些值可适当调整）。
给出任一初始条件，通过计算机数值求解可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合曲线，这一条闭合曲线，成为极限环，极限环以外的相轨道向里盘旋，而极限环以内的相轨道则向外盘旋，都趋向极限环（如图2.36所示），说明不论初始情况如何，系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。
由于这段程序较简单，我们没有专门编写，事实上，只要将下面编写的关于强迫VDP方程的程序中令V＝0，再取不同的初始条件，就能看到这个现象
下面研究强迫VDP方程的行为，我们同时采用时间历程图，相图，庞加莱映像图来研究系统在不同参数条件下的动力学行为，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子
先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。
在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点可以看成前一次穿过的点的一种映射
在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等
设，，则（2.19.2）式可化为
（2.19.3）
取，，进行以下数值计算研究
⑴在，V＝1，条件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激励的周期，代表主谐波运动，如图2.37所示
⑵在，V＝1，条件下，存在周期2吸引子，它的周期等于外激励的整数倍，代表次谐波运动，如图2.38所示
⑶在，V＝1，条件下，存在不变环面吸引子，它代表准周期（拟周期）运动，如图2.39所示
⑷，V＝1，条件下，存在奇怪吸引子，它代表混浊运动，如图2.40所示
⑸保持V和为定值，逐渐增大，将显示系统状态演化过程全貌的图，如图2.41所示，而前四种情况中，看到的只是取4个值的片断情况，图形显示，当由0.9连续变化到1.2时，系统运动状态逐渐由周期1过渡到周期2（发生了周期倍分岔）再过渡到混浊状态
在程序中，这几种过程的计算是相同的，所以用for循环来完成前面四种计算，这就是程序zjzd.m计算中在每个外激励周期内计算1000个相点，为了作出庞加莱映射，每隔1000个点保留一个点数据，所以程序运行的时间较长，对第五种情况，由于计算量大，将它另外编写一个程序，这就是程序zjzd1.m计算中在每个周期内计算100个相点，庞加莱映射是每隔100个点保留一个点数据，图2.41是在CPU为P4的计算机上运算约半小时所得到的结果
4.思考题
⑴画出不同的吸引子的功率谱，观察它们的差别
⑵当值由0.6连续变化到0.9时，计算强迫VDP方程的庞加莱映射
⑶将参考程序zjzd.m中解微分方程的时间增加到足够长，在庞加莱映射图上可以看到一个更完整的奇怪吸引子形状，请试一试
5.参考程序
参考程序zjzd.m如下：
u=[0.85,
1.02,
0.66,
1.08];
x0=1;
w0=1;
v=1;
w=0.44;
T=2*pi/w;
str{1}='
庞加莱截面—周期1吸引子'
;
str{2}='
庞加莱截面—周期2吸引子'
str{3}='
庞加莱截面—不变环面吸引子'
str{4}='
庞加莱截面—奇怪吸引子'
forj=1:
4
[t,y]=ode23（'
zjzdfun'
[0:
T/1000:
50*T],[4,4],[],u（j）,x0,w0,v,w）;
figure
subplot（2,1,1）
plot（t,y（:
1））;
title（'
位移曲线'
）;
xlabel（'
x'
ylabel（'
v'
subplot（2,2,3）
plot（y（3000:
end,1）,y（3000:
end,2））;
axis（[-33-44]）
相图'
subplot（2,2,4）
axis（[-31-11]）
holdon
fori=7000:
1000:
14000
plot（y（i,1）,y（i,2）,'
r.'
end
title（str{j}）;
参考程序zjzd1.m如下：
u=0.8:
0.001:
1.2;
v=1;
w0=1;
w=0.44;
axis（[0.91.2
-0.81]）
length（u）
[t,y]=ode23（'
T/100:
70*T],[4,4],[],u（j）,x0,w0,v,w）;
plot（u（j）,y（500:
100:
1400,2）,'
linewidth'
2）;
函数文件是一个独立的文件，文件名为zjzdfun.m
functionydot=vdbfun（t,y,flag,u,x0,w0,v,w）
ydot=[y
（2）;
u*（x0^2-y
（1）^2）*y
（2）-y
（1）*w0^2-v*cos（w*t）];
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