庞加莱映射Word下载.doc

1、波耳（Van der pol） 方程 （2.19.1）所描述的非线性有阻尼的自激振动系统，其中 是 一个小的正的参量， 是 常数。下面简称范波耳方程为VDP方程在VDP方程中，增加外驱动力 项 所得到的方程 （2.19.2）称强迫VDP方程，其中外驱动力的振幅，角频率分别是V和 ，试研究强迫VDP方程的行为2.实验目的和要求演示VDP方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产生稳 定的周期性运动采用庞加莱映像，演示强迫VDP方程在不同参数下所存在四种吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子对于强迫VDP方程，在V和 为 定值条件下，逐渐增大 值， 将出

2、现周期倍分岔和混浊现象3.解题分析自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统，在运动过程中伴随有能量损耗，但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈 调节，及时适量地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动称为自激振动对VDP方程，可从机械振动角度理解， 是 阻尼系数，它是变化的，如果 ， 则阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少，但如果 ， 则发生负阻尼，意味着不仅不消耗系统的能量，反而给系统提供能量。此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从 而系统作稳定的周期振动取方程中的 ， ， （这 些值可适当调整）。给出任一

3、初始条件，通过计算机数值求解可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合 曲线，这一条闭合曲线，成为极限环，极限环以外的相轨道向里盘旋，而极限环以内的相轨道则向外盘旋，都趋向极限环（如图2.36所示），说明不论初始情况如何，系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。由于这段程序较简单，我们没 有专门编写，事实上，只要将下面编写的关于强迫VDP方程的程序中令V0， 再 取不同的初始条件，就能看到这个现象下面研究强迫VDP方程的行为，我们同时采用时间历程图，相图，庞加莱映像图来研究系统在不同参数条件下的动力学行为，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子先对庞加莱映

4、射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹 用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次 穿过截面的点 可 以看成前一次穿过的点 的 一种映射在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等设 ， ， 则（2.19.2）式可 化为 （2.19.3） 取 ， ， 进行以下数值计算研究在 ，V1， 条 件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激励的周期，代表主谐波运动，如图2.37所示在 ，V1， 条 件下，存在

5、周期2吸引子，它的周期等于外激励的整数倍， 代表次谐波运动，如图2.38所示在 ，V1， 条 件下，存在不变环面吸引子，它代表准周期（拟周期）运动，如图2.39所示 ，V1， 条 件下，存在奇怪吸引子，它代表混浊运动，如图2.40所示保持V和 为 定值，逐渐增大 ， 将显示系统状态演化过程全貌的图，如图2.41所示，而前四种情况中，看到的只是 取4个值的片断情况，图形显示，当 由0.9连续变化到1.2时，系统运动状态逐渐由周期1过渡到周期2（发生了周期倍分岔）再过渡到混浊状态在程序中，这几种过程的计算是相同的，所以用for循环来完成前面四种计算，这就 是程序zjzd.m 计算中在每个外激励周期

6、内计算1000个相点，为了作出庞加莱映射，每隔1000个点保留一个点数据， 所以程序运行的时间较长，对第五种情况，由于计算量大，将它另外编写一个程序，这就是程序zjzd1.m 计 算中在每个周期内计算100个相点，庞加莱映射是每隔100个 点保留一个点数据，图2.41是在CPU为P4的计算机上运算约半小时所得到的结果4.思考题画出不同的吸引子的功率谱，观察它们的差别当 值 由0.6连续变化到0.9时，计算强迫VDP方程的庞加莱映射将参考程序zjzd.m中 解微分方程的时间增加到足够长，在庞加莱映射图上可以看到一个更完整的奇怪吸引子形状，请试一试5.参考程序参考程序zjzd.m如 下：u=0.8

7、5, 1.02, 0.66, 1.08;x0=1; w0=1; v=1; w=0.44;T=2*pi/w;str1=庞加莱截面周期1吸引子;str2=庞加莱截面周期2吸引子str3=庞加莱截面不变环面吸引子str4=庞加莱截面奇怪吸引子for j=1:4t,y=ode23（zjzdfun,0:T/1000:50*T,4,4,u（j）,x0,w0,v,w）;figuresubplot（2,1,1）plot（t,y（:,1）;title（位移曲线）;xlabel（xylabel（vsubplot（2,2,3）plot（y（3000:end,1）,y（3000:end,2）;axis（-3 3 -4

8、 4）相图subplot（2,2,4）axis（-3 1 -1 1）hold onfor i=7000:1000:14000 plot（y（i,1）,y（i,2）,r.endtitle（strj）;参考程序zjzd1.m如下：u=0.8:0.001:1.2;v=1;w0=1;w=0.44;axis（0.9 1.2 -0.8 1）length（u） t,y=ode23（T/100:70*T,4,4,u（j）,x0,w0,v,w）; plot（u（j）,y（500:100:1400,2）,linewidth,2）;函数文件是一个独立的文件，文件名为zjzdfun.mfunction ydot=vdbfun（t,y,flag,u,x0,w0,v,w）ydot=y（2）; u*（x02-y（1）2）*y（2）-y（1）*w02-v*cos（w*t）;