全国高考理科数学试题及答案全国1卷.docx
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全国高考理科数学试题及答案全国1卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学
第Ⅰ卷
参考公式：
如果事件互斥，那么球的表面积公式
如果事件相互独立，那么其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径
一、选择题
1．函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（）
3．在中，，．若点满足，则（）
A．B．C．D．
4．设，且为正实数，则（）
A．2B．1C．0D．
5．已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）
A．138B．135C．95D．23
6．若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（）
A．e2x-1B．e2xC．e2x+1D．e2x+2
7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）
A．2B．C．D．
8．为得到函数的图像，只需将函数的图像（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
9．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
10．若直线通过点，则（）
A．B．C．D．
11．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）
A．B．C．D．
12．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96B．84C．60D．48
第Ⅱ卷
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．13．若满足约束条件则的最大值为．
14．已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．
15．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
16．等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，M、N分别是AC、BC的中点，则EM、AN所成角的余弦值等于．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设的内角所对的边长分别为a、b、c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值．
18．（本小题满分12分）
四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，求二面角的大小．
19．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：
逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：
先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）表示依方案乙所需化验次数，求的期望．
21．（本小题满分12分）
双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（本小题满分12分）
设函数．数列满足，．
（Ⅰ）证明：
函数在区间是增函数；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）设，整数．证明：
．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）
理科数学答案解析
一、选择题
1、答案：
C
解析:
∴原函数的定义域为{x|x≥1或x=0}.
2、答案：
A
解析:
由题意,汽车在匀速行驶前速度加快,而之后速度减小,故曲线切线斜率先增大后不变,再后减小,选A.
3、答案：
A
解析:
如图,
=c+
=c+（b-c）
=b+c,故选A.
4、答案：
D
解析:
（a+i）2i=（a2-1+2ai）i
=-2a+（a2-1）i.
∵（a+i）2i为正实数,∴∴a=-1.
5、答案：
C
解析:
∵a2+a4=4=2a3,∴a3=2.
又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5.
∴公差d=a4-a3=3,a1=-4.
∴S10=10×（-4）+×3=95.
6、答案：
B
解析:
由题意y=f（x-1）与y=ln+1互为反函数,
∴f（x-1）=e2（x-1）.
∴f（x）=e2x.
7、答案：
D
解析:
y′=,
∴曲线在（3,2）处的切线斜率为y′|x=3=-.
∵-·（-a）=-1,∴a=-2.
8、答案：
A
解析:
y=cos（2x+）=sin（2x++）,
即y=sin（2x+）=sin2（x+）.
∴只需将函数y=sin2x的图像向左平移个单位长度即得函数y=cos（2x+）的图像,选A.
9、答案：
D
解析:
∵f（x）为奇函数,∴f（-x）=-f（x）,
且f（-1）=-f
（1）=0.
又∵f（x）在（0,+∞）上为增函数,
∴当x＜-1或0＜x＜1时,f（x）＜0,
当-1＜x＜0或x＞1时,f（x）＞0.
又不等式＜0,
∴解集为（-1,0）∪（0,1）.
10、答案：
D
解析:
动点M在以原点为圆心的单位圆上,
所以直线+=1过点M,只需保证原点到直线的距离≤1,即+≥1.
11、答案：
B
解析:
如图,连结A1B和AB1交于点O′,取OB中点E,连O′E,则O′EA1O,
∴O′E⊥面ABC.连结AE,
∴∠O′AE即为AB1与面ABC所成的角.
∵AO=BO,又∵A1A=AB,
设A1A=a,则AO′=a.
又AO=·a=a,
∴A1O=a.
∴O′E=a.∴sin∠O′AE=.
12、答案：
B
解析:
方法一:
4种花都种有=24种;只种其中3种花:
···=48种;
只种其中2种花:
·=12种.
∴共有种法24+48+12=84种.
方法二:
A有4种选择,B有3种选择,C可与A相同,则D有3种选择,若C与A不同,则C有2种选择,D也有2种选择.
∴共有4×3×（3+2×2）=84.
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．答案：
9
解析:
由题意得可行域如图中阴影部分所示,则由图可得目标函数z=2x-y的最大值为y=2x-z,过点（3,-3）时,此时z=9.
14．答案：
2
解析:
y=ax2-1,即x2=（y+1）,
∵原点为抛物线焦点,∴=1,即a=.
∴抛物线为y=x2-1,顶点为（0,-1）,与x轴两交点为（-2,0）和（2,0）.
∴S△=×4×1=2.
15．答案：
解析:
∵以A、B为焦点的椭圆过点C,
∴椭圆的离心率e=.
∵AB=BC,∴e=.
又∵cosB=,
即,得AC2=AB2,
∴AC=AB.∴e==.
16．答案：
解析:
取AB中点G,连结GC,过G作GF∥BD,则GF交DE于F,F为DE中点.
点C在面ABCD内的射影在GF上,
设为H.
∴∠CGH为二面角CABD的平面角.
∴=.设AB=a,则CG=a.
∴GH=,即H为正方形中心.
连结CD、CE,则四棱锥C—ABDE为正四棱锥.
又连结NF、MN,∵MNAB,
∴MNEF.
∴四边形EMNF为平行四边形,EMNF.
∴∠ANF为异面直线EM、AN所成的角.
又EM=a,AN=a,AF=a,
∴cos∠ANF==.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.解析：
（Ⅰ）由正弦定理得
a=
acosB-bcosA=（）c
=
=
=
依题设得
解得tanAcotB=4
（II）由（I）得tanA=4tanB，故A、B都是锐角，于是tanB>0
tan（A-B）=
=
≤，
且当tanB=时，上式取等号，因此tan（A-B）的最大值为
18．解：
（I）作AO⊥BC，垂足为O，连接OD，由题设知，AO⊥底面BCDE，且O为BC中点，
由知，Rt△OCD∽Rt△CDE，
从而∠ODC=∠CED，于是CE⊥OD，
由三垂线定理知，AD⊥CE
（II）由题意，BE⊥BC，所以BE⊥侧面ABC，又BE侧面ABE，所以侧面ABE⊥侧面ABC。
作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，则CF⊥平面ABE
故∠CEF为CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE=，得CF=
又BC=2，因而∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE。
由（I）知，CE⊥AD，又CE∩CG=C，
故AD⊥平面CGE，AD⊥GE，∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。
CG=
GE=
cos∠CGE=
所以二面角C-AD-E为arccos（）
解法二：
（I）作AO⊥BC，垂足为O，则AO⊥底面BCDE，且O为BC的中点，以O为坐标原点，射线OC为x轴正向，建立如图所示的直角坐标系O-xyz.
设A（0,0,t），由已知条件有
C（1,0,0）,D（1,,0）,E（-1,,0）,
所以，得AD⊥CE
（II）作CF⊥AB，垂足为F，连接FE，
设F（x,0,z）则=（x-1,0,z）,
故CF⊥BE，又AB∩BE=B，所以CF⊥平面ABE，
∠CEF是CE与平面ABE所成的角，∠CEF=45°
由CE=，得CF=
又CB=2，所以∠FBC=60°，△ABC为等边三角形，因此A（0，0，）
作CG⊥AD，垂足为G，连接GE，在Rt△ACD中，求得|AG|=|AD|
故G[]
又
所以的夹角等于二面角C-AD-E的平面角。
由cos（）=
知二面角C-AD-E为arccos（）
19.解：
（Ⅰ）f´（x）=3x2+2ax+1，判别式Δ=4（a2-3）
（i）若a>或a<，则在上f´（x）>0，f（x）是增函数；
在内f´（x）<0，f（x）是减函数；
在上f´（x）>0，f（x）是增函数。
（ii）若0，故此时f（x）在R上是增函数。
（iii）若a=，则f´（）=0，且对所有的x≠都有f´（x）>0，故当a=时，f（x）在R上是增函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，只有当a>或a<时，f（x）在内是减函数。
因此≤①
且≥②
当|a|>时，由①、②解得a≥2
因此a的取值范围是[2,+∞）。
（20）解：
记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，
B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，
A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。
依题意知A2与B2独立。
（Ⅰ）
，，。
P（）=P（A1+A2·B2）
=P（A1）+P（A2·B2）
=P（A1）+P（A2）·P（B2）
=
=
所以P（A）=1-P（）==0.72
（Ⅱ）ξ的可能取值为2，3.
P（B1）=，P（B2）=，P（ξ=2）=P（B1）=，P（ξ=3）=P（B2）
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