1990年全国高考数学文科Word文档格式.docx
《1990年全国高考数学文科Word文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1990年全国高考数学文科Word文档格式.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
0,a≠1,解不等式loga(4+3x-x)-loga(2x-1)>
loga2.
25.(满分12分)设a≥0,在复数集C中解方程z+2│z│=a.
26.(满分12分)
参考答案及其解析
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)C
(3)D
(4)B
(5)D
(6)C
(7)A
(8)B
(9)A
(10)C
(11)B
(12)D
(13)A
(14)C
(15)B
三、解答题.
(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程(组)解决问题的能力.
依题意有
由②式得d=12-2a.③
整理得a-13a+36=0.
2
解得a=4,a=9.
1
d
=-6.
代入③式得
d=4,
从而得所求四个数为
0,4,8,16或15,9,3,1.
解法二:
设四个数依次为x,y,12-y,16-x.
依题意,有
由①式得x=3y-12.
③
将③式代入②式得
y(16-3y+12)=(12-y)2,
整理得y-13y+36=0.
解得y1=4,y2=9.
=0,x=15.
x
0,4,8,16或15,9,3,1.
(22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力
.
解法一:
由已知得
两式相除得
如图,不妨设0≤α≤β<
2π,且点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是
(cosβ,sinβ),则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结AB,若C是AB的中点,由题设知点C
连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是(1,0),再连结OA,OB,则有
解法三:
由题设得4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).
将②式代入①式,可得
sin(α-)=sin(-β).
于是α-=(2k+1)π-(
-β)(k∈Z),
或
α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
若
α-=(2k+1)π-(
-β)(k∈Z),则α=β+(2k+1)π(k∈Z).
于是sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.
由此可知α-=2kπ+(-β)(k∈Z).
即α+β=2+2kπ(k∈Z).
(23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.
由于SB=BC,且E是
中线,所以SC⊥BE.
SC的中点
因此
BE是等腰三角形
SBC
的底边
SC的
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E,
∴SC⊥面BDE,
∴SC⊥BD.
又∵SA⊥底面ABC,BD
在底面
ABC
上,∴SA⊥BD.
而SC∩SA=S,∴BD⊥面SAC.
∵DE=面SAC∩面BDE,DC=面SAC∩面BDC,
∴BD⊥DE,BD⊥DC.
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.
又已知DE⊥SC,所以∠EDC=60°
即所求的二面角等于60°
.
由于SB=BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的
又已知SC⊥DE,BE∩DE=E.
由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;
又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面
ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面ABC上的射影在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE.
∵DE面BDE,DC面BDC,
∴∠EDC是所求的二面角的平面角.
以下同解法一.
(24)本小题考查对数,不等式的基本知识及运算能力.
解:
原不等式可化为
loga(4+3x-x2)>
loga2(2x-1).①
当0<
a<
1时,①式等价于
即当0<
1时,原不等式的解集是{x│2<
x<
4}.
当a>
1时,①式等价于
(25)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力
设z=x+yi,代入原方程得
于是原方程等价于方程组
由②式得
别加以讨论.
情形1.
y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数或为纯虚数
若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为
.下面分
x2+2│x│=a.
(Ⅰ)令x>
0,方程③变为x2+2x=a.④
由此可知:
当a=0时,方程④无正根;
(Ⅱ)令x<
0,方程③变为x2-2x=a.⑤
当a=0时,方程⑤无负根;
(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.⑥
当a=0时,方程⑥有零解x=0;
0时,方程⑥无零解.
所以,原方程的实数解是:
当a=0时,z=0;
情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为
-y2+2│y│=a.⑦
(Ⅰ)令y>
0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.⑧
1时,方程⑧无实根.
从而,当a=0时,方程⑧有正根y=2;
(Ⅱ)令y<
0,方程⑦变为-y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.⑨
1时,方程⑨无实根.
从而,当a=0时,方程⑨有负根y=-2;
所以,原方程的纯虚数解是:
当a=0时,z=±
2i;
而当a>
1时,原方程无纯虚数解.
由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分
若y=0,即求原方程的实数解
z=x.此时,①式化为
-y2+2│y│=a.
当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2,
即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±
2i.
a≤1时,原方程的纯虚数解是
1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.
则其解或为实数,或为纯虚
因为z=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解
数,即z=x或z=yi(y≠0).
若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.
情形2.
若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形
2.
解法四:
设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<
2π.代入原方程得
r2cos2θ+2r+ir2sin2θ=a.
情形1.若r=0.①式变成
0=a.③
当a=0时,r=0是方程③的解.
0时,方程③无解.
所以,当a=0时,原方程有解z=0;
0时,原方程无零解.
(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±
r.因cos2θ=1,故①式化为
r2+2r=a.④
(Ⅱ)当k=1,3
时,对应的复数是z=±
ri.因cos2θ=-1,故①式化为
-r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,⑤
1时,方程⑤无实根,从而无正根;
从而,当a=0时,方程⑤有正根r=2;
所以,当a=o时,原方程有解z=±
2i;
a≤1时,原方程有解
1时,原方程无纯虚数解.
(26)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.
根据题设条件,可取椭圆的参数方程是
其中a>
b>
0待定,0≤θ<
2π.
设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则
大值,由题设得
因此必有
由此可得b=1,a=2.
所求椭圆的参数方程是