全国高中数学联合竞赛试题B卷一试.docx
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全国高中数学联合竞赛试题B卷一试
全国高中数学联合竞赛试题(B卷)
一试
一、填空题(每小题8分,共64分,)
1.函数的值域是.
2.已知函数的最小值为,则实数的取值范围是.
3.双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是.
4.已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则.
5.函数在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是.
6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是.
7.正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则.
8.方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是.
二、解答题(本题满分56分)
9.(16分)已知函数,当时,,试求的最大值.
10.(20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.
11.(20分)证明:
方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得.
加试
1.(40分)如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:
若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.
2.(40分)设k是给定的正整数,.记,.证明:
存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整数,例如:
,.
3.(50分)给定整数,设正实数满足,记
.
求证:
.
4.(50分)一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:
该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
2010年全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准(B卷)
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次。
1.提示:
易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.
2.提示:
令,则原函数化为,即
.
由,,及知即
.
(1)
当时
(1)总成立;
对;对.从而可知.
3.9800提示:
由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为
.
又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.
4.提示:
设的公差为的公比为,则
(1)
,
(2)
(1)代入
(2)得,求得.
从而有对一切正整数都成立,即对一切正整数都成立.
从而
,
求得,.
5.提示:
令则原函数化为,在上是递增的.
当时,,
,
所以
;
当时,,
,
所以
.
综上在上的最小值为.
6.提示:
同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为
.
7.提示:
解法一:
如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.
设分别与平面、平面垂直的向量是、,则
由此可设,所以,即
.
所以.
解法二:
如图,.
设与交于点则.
从而平面.
过在平面上作,垂足为.
连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.
在直角中,,即.
又.
.
8.336675提示:
首先易知的正整数解的个数为.
把满足的正整数解分为三类:
(1)均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;
(3)设两两均不相等的正整数解为.
易知
,
所以
,
即
.
从而满足的正整数解的个数为
.
9.解法一:
由得
.
所以
,
所以.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.
解法二:
.设,则当时,.
设,则.
.
容易知道当时,.从而当时,,即
,
从而,,由知.
又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.
10.解法一:
设线段的中点为,则,
.
线段的垂直平分线的方程是
.
(1)
易知是
(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.
由
(1)知直线的方程为,即
.
(2)
(2)代入得,即
.(3)
依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以
.
.
定点到线段的距离
.
.
当且仅当,即,或时等号成立.
所以,面积的最大值为.
解法二:
同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.
设,则的绝对值,
所以,当且仅当且,即,或
时等号成立.
所以,面积的最大值是.
11.令,则,所以是严格递增的.又,故有唯一实数根.
所以,
.
故数列是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列和满足
,
去掉上面等式两边相同的项,有
,
这里,所有的与都是不同的.
不妨设,则
,
,
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加试
加试解答
1.用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.
因为P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)
,
同理
,
所以,
故⊥.由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是
.①
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得
,②
.③
由①,②,③可得,所以,故△DMN∽△DCB,于是,所以BC∥MN,故OK⊥BC,即K为BC的中点,矛盾!
从而四点共圆.
注1:
“P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)”的证明:
延长PK至点F,使得
,④
则P,E,F,A四点共圆,故
,
从而E,C,F,K四点共圆,于是
,⑤
⑤-④,得
P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O).
注2:
若点E在线段AD的延长线上,完全类似.
2.记表示正整数n所含的2的幂次.则当时,为整数.
下面我们对用数学归纳法.
当时,k为奇数,为偶数,此时
为整数.
假设命题对成立.
对于,设k的二进制表示具有形式
,
这里,或者1,.
于是
,①
这里
.
显然中所含的2的幂次为.故由归纳假设知,经过f的v次迭代得到整数,由①知,是一个整数,这就完成了归纳证明.
3.由知,对,有.
注意到当时,有,于是对,有
,
故
.
4.对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a,如果颜色不同,则标上b,如果数字和颜色都相同,则标上c.于是对于给定的点上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同,标有a和b的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a,b,c,使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍.
设标有a的边有条,,标有b的边有条,.选取条边标记a的有种方法,在余下的边中取出条边标记b的有种方法,其余的边标记c.由乘法原理,此时共有种标记方法.对i,j求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为
.①
这里我们约定.
当n为奇数时,,此时
.②
代入①式中,得
.
当n为偶数时,若,则②式仍然成立;若,则正n边形的所有边都标记a,此时只有一种标记方法.于是,当n为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为
.
综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:
当n为奇数时有种;当n为偶数时有种.