届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ26对数与对数函数学案文北师大版Word文档格式.docx

届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ26对数与对数函数学案文北师大版Word文档格式.docx

《届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ26对数与对数函数学案文北师大版Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ26对数与对数函数学案文北师大版Word文档格式.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

0，且a≠1）．

（3）对数的换底公式

logab＝（a>

0，且a≠1；

c>

0，且c≠1；

b>

0）．

3．对数函数的图像与性质

y＝logax

a>

1

0<

a<

图像

定义域

（1）（0，＋∞）

值域

（2）R

性质

（3）过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

（4）当x>

1时，y>

0；

当0<

x<

1时，y<

（5）当x>

（6）在（0，＋∞）上是增函数

（7）在（0，＋∞）上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax（a>

0且a≠1）与对数函数y＝logax（a>

0且a≠1）互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

知识拓展

1．换底公式的两个重要结论

（1）logab＝；

（2）＝logab.

其中a>

0且a≠1，b>

0且b≠1，m，n∈R.

2．对数函数的图像与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0<

c<

d<

1<

b.由此我们可得到以下规律：

在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）若MN>

0，则loga（MN）＝logaM＋logaN.（　×

　）

（2）对数函数y＝logax（a>

0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数．（　×

（3）函数y＝ln与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同．（　√　）

（4）对数函数y＝logax（a>

0且a≠1）的图像过定点（1,0）且过点（a,1），，函数图像只在第一、四象限．（　√　）

题组二　教材改编

2．lg－lg＋lg7＝________.

答案　

解析　原式＝lg4＋lg2－lg7－lg8＋lg7＋lg5

＝2lg2＋（lg2＋lg5）－2lg2＝.

3．已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________．

答案　c>

b

解析　∵0<

1，b<

0，c＝＝log23>

1.

∴c>

b.

4．函数y＝的定义域是______．

解析　由log（2x－1）≥0，得0<

2x－1≤1.

∴<

x≤1.

∴函数y＝的定义域是.

题组三　易错自纠

5．已知b>

0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是（　　）

A．d＝acB．a＝cd

C．c＝adD．d＝a＋c

答案　B

6．已知函数y＝loga（x＋c）（a，c为常数，其中a>

0，a≠1）的图像如图，则下列结论成立的是（　　）

A．a>

1，c>

1B．a>

1,0<

C．0<

1D．0<

答案　D

解析　由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<

1，∵图像与x轴的交点在区间（0,1）之间，∴该函数的图像是由函数y＝logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<

7．若loga<

1（a>

0且a≠1），则实数a的取值范围是____________________．

答案　∪（1，＋∞）

解析　当0<

1时，loga<

logaa＝1，∴0<

；

当a>

logaa＝1，∴a>

∴实数a的取值范围是∪（1，＋∞）．

题型一　对数的运算

1．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于（　　）

A.B．10

C．20D．100

答案　A

解析　由已知，得a＝log2m，b＝log5m，

则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.

解得m＝.

2．计算：

÷

100＝________.

答案　－20

解析　原式＝（lg2－2－lg52）×

100＝lg×

10

＝lg10－2×

10＝－2×

10＝－20.

3．计算：

＝________.

答案　1

解析　原式

＝

＝＝＝＝1.

思维升华对数运算的一般思路

（1）拆：

首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．

（2）合：

将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．

题型二　对数函数的图像及应用

典例

（1）若函数y＝logax（a>

0且a≠1）的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（　　）

解析　由题意y＝logax（a>

0且a≠1）的图像过（3,1）点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图像错误；

选项B中，y＝x3，由幂函数图像性质可知正确；

选项C中，y＝（－x）3＝－x3，显然与所画图像不符；

选项D中，y＝log3（－x）的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符，故选B.

（2）当0<

x≤时，4x<

logax，则a的取值范围是（　　）

A.B.

C．（1，）D．（，2）

解析　由题意得，当0<

1时，要使得4x<

logax，即当0<

x≤时，函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方．又当x＝时，＝2，即函数y＝4x的图像过点.把点代入y＝logax，得a＝.若函数y＝4x的图像在函数y＝logax图像的下方，则需<

1（如图所示）．

1时，不符合题意，舍去．

所以实数a的取值范围是.

引申探究　

若本例

（2）变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________．

解析　若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，

由图像知解得0<

a≤.

思维升华

（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想求解．

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．

跟踪训练

（1）函数y＝2log4（1－x）的图像大致是（　　）

答案　C

解析　函数y＝2log4（1－x）的定义域为（－∞，1），排除A，B；

又函数y＝2log4（1－x）在定义域内单调递减，排除D.故选C.

（2）（2017·

衡水调研）已知函数f（x）＝且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

答案　（1，＋∞）

解析　如图，在同一坐标系中分别作出y＝f（x）与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上的截距．

由图可知，当a>

1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

题型三　对数函数的性质及应用

命题点1　对数函数的单调性

典例

（1）若a>

0,0<

1，则（　　）

A．logac<

logbcB．logca<

logcb

C．ac<

bcD．ca>

cb

1时，y＝logcx是减函数，

∴logca<

logcb，故选B.

江西九江七校联考）若函数f（x）＝log2（x2－ax－3a）在区间（－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，4）B．（－4,4]

C．（－∞，－4）∪[－2，＋∞）D．[－4,4）

解析　由题意得x2－ax－3a>

0在区间（－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在（－∞，－2]上是减少的，则≥－2且（－2）2－（－2）a－3a>

0，解得实数a的取值范围是[－4,4），故选D.

命题点2　和对数函数有关的复合函数

典例已知函数f（x）＝loga（3－ax）（a>

0且a≠1）．

（1）当x∈[0,2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；

（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？

如果存在，试求出a的值；

如果不存在，请说明理由．

解　

（1）∵a>

0且a≠1，设t（x）＝3－ax，

则t（x）＝3－ax为减函数，

x∈[0,2]时，t（x）的最小值为3－2a，

当x∈[0,2]时，f（x）恒有意义，

即x∈[0,2]时，3－ax>

0恒成立．

∴3－2a>

0.∴a<

.

又a>

0且a≠1，∴a的取值范围为（0,1）∪.

（2）假设存在这样的实数a.

t（x）＝3－ax，∵a>

0，∴函数t（x）为减函数．

∵f（x）在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>

1，x∈[1,2]时，t（x）的最小值为3－2a，f（x）的最大值为f

（1）＝loga（3－a），

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.

思维升华

（1）利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．

（2）解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．

跟踪训练

（1）设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则（　　）

bB．b>

a

C．c>

aD．c>

解析　a＝log32<

log33＝1，b＝log52<

log55＝1.

又c＝log23>

log22＝1，所以c最大．

由1<

log23<

log25，得>

，即a>

b，

所以c>

（2）已知函数f（x）＝ln的定义域是（1，＋∞），则实数a的值为________．

答案　2

解析　由题意，得不等式1－>

0的解集是（1，＋∞），由1－>

0，可得2x>

a，故x>

log2a，由log2a＝1，

得a＝2.

比较指数式、对数式的大小

考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一．

（1）比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；

有时也可用数形结合的方法．

（2）解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.

典例

（1）设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．c<

b<

aB．a<

c

C．b<

cD．a<

新乡二模）设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a<

cB．c<

C．c<

bD