直角三角形和勾股定理Word格式文档下载.docx

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直角三角形的性质和判定以及直角三角形全等的判定定理及其应用。

【教学知识要点】

1.直角三角形的性质：

（1）在直角三角形中，有一个角为90°

。

（2）在直角三角形中，两锐角互余。

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°

2.直角三角形的判定：

（1）有一个角为90°

的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

3.直角三角形全等的判定方法：

（1）SAS定理

（2）ASA定理

（3）AAS定理

（4）SSS定理

（5）HL定理（或简写成“斜边·

直角边”）：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4.定理：

到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5.勾股定理：

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。

6.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：

a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

【几点说明】

1.HL定理是判定直角三角形全等独有的方法，因此在应用这一性质时，必须点明“在Rt△×

×

和Rt△×

”中。

2.直角三角形是特殊三角形，除具有特殊性外，还具有一般性，所以一般三角形全等的四种判定方法也适用于直角三角形，因此判定两个直角三角形全等的方法有五种：

SAS、ASA、AAS、SSS、HL，其中HL是直角三角形所特有的。

3.定理“角平分线上的点，到这个角的两边距离相等”与定理“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，二者是互逆定理，前者是角平分线的性质定理，后者是角平分线的判定定理。

4.勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

5.勾股定理与勾股定理的逆定理是一对互逆定理，前者是直角三角形的性质定理，后者是直角三角形的判定定理。

6.勾股定理的逆定理把数的特征（a2＋b2＝c2）转化为形的特征（三角形有一个角为直角），因此逆定理的作用是提供了一个判定三角形是不是直角三角形的方法，它与前面讲的判定方法不同，它需要通过代数运算“算”出来。

【典型例题】

基础知识题

例1.如图甲，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这三个结论中正确的是（）

（1）AS＝AR

（2）QP∥AR（3）△BRP≌△CSP

A.

（1）和

（2）B.

（2）和（3）

C.

（1）和（3）D.

（1）

（2）和（3）

分析：

几何中添加辅助线的实质是把不完整的基本图形补充完整，即构造基本图形，此题的切入点是从图中识别如图乙、丙、丁基本图形，并且联想有关定理，通过分解图，然后重组，问题便得到解决。

由乙图中角平分线性质定理的逆定理有∠1＝∠2，且由HL知Rt△PAR≌Rt△PAS，有AR＝AS，故

（1）成立。

由丙图中，等腰三角形性质∠2＝∠3，又由乙中知：

∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，推出QP∥AR，故

（2）成立。

由丁图中，寻找判定直角三角形的条件有PR＝PS，虽然P在∠BAC的角平分线上，但PB不一定等于PC，即△PBR不一定全等于△PCS，所以（3）不成立。

解：

由上述分析可得，此题应选A。

说明：

观察、分解、重组、构造是研究几何的基本方法，此题还体现了转化、化归思想。

例2.如图甲，已知：

∠B＝∠C＝90°

，M是BC的中点，DM平分∠ADC，试说明：

AM平分∠DAB。

要说明AM平分∠DAB，即说明∠3＝∠4，借助于三角形全等的性质，需构造全等三角形，考虑到∠B＝90°

，需构造一个直角三角形，因此，过点M作ME⊥AD于E，也可延长DM交AB的延长线于N。

解法1：

如甲图，过点M作ME⊥AD于E

∴∠DEM＝∠AEM＝90°

在△MCD和△MED中

∴△MCD≌△MED（AAS）

∴ME＝MC（全等三角形的对应边相等）

∵M是BC的中点

∴CM＝BM

∴ME＝BM

在Rt△MEA和Rt△MBA中

∴Rt△MEA≌Rt△MBA（HL）

∴∠3＝∠4（全等三角形的对应角相等）

∴AM平分∠DAB

解法2：

如乙图，延长DM交AB的延长线于点N

在Rt△DMC与Rt△NMB中

∴Rt△DMC≌Rt△NMB（ASA）

∴DM＝NM

∴∠1＝∠N（全等三角形的对应角相等，对应边相等）

又∵DM平分∠ADC

∴∠1＝∠2

∴∠2＝∠N

∴△ADN是等腰三角形

又∵DM＝NM

∴AM是∠DAN的角平分线

例3.已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，D在AC上，若CD＝1，CD＋2BD＝2AC，求：

AB的长。

但要想求出AB，必须先设法求出AD、BD或找到AD、BD与AB的关系，注意到AC＝AB，则AD＝AC－CD＝AB－1，只需再找出BD与AB的关系，这就必须从条件CD＋2BD＝2AC得来。

∵AB＝AC，CD＝1

∵BD⊥AC

（1）利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的重要作用，在有垂直条件时，经常考虑到利用勾股定理去解。

（2）勾股定理反映的是三个量之间的关系，如果已知一个量，要设法求出另外一个量，或求出另外两个量之间的关系，才能求出第三个量，实质就是方程思想。

（3）在已知中没有垂直，或有垂直但与问题相距“较远时”，常需适当作辅助线，构造直角三角形，创造条件来利用勾股定理。

能力提高题

例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝BC，直线MN过C点，AN⊥MN于N，BM⊥MN于N，那么MN与AN＋BM有什么关系？

为什么？

请说明理由。

分析：

利用度量的方法可以猜出结论MN＝AN＋BM，如何说明呢？

可将MN拆成MC和CN，分别说明MC＝AN，CN＝BM即可，即要说明△BMC≌△CNA，已知∠M＝∠N＝90°

，AC＝BC，两个条件只要再找出一个即可。

结论：

MN＝AN＋BM

理由：

∴∠1＝∠3（同角的余角相等）

∵AN⊥NM，BM⊥MN

∴∠M＝∠N＝90°

在△BMC和△CNA中

∴△BMC≌△CNA（AAS）

∴BM＝CN，MC＝AN（全等三角形对应边相等）

∵MN＝MC＋CN

∴MN＝AN＋BM

说明：

（1）当题目中的直角条件较多时，常用“同角或等角的余角相等”来说明角相等。

（2）在说明两条线段之和等于第三条线段时，常将较长的线段拆成两条线段的和，再分别说明拆成的两条线段与要说明的两条线段对应相等。

例5.已知：

a、b、c为△ABC的三边长，且a2＋b2＋2c2＋507＝10a＋24b＋52c，试判定△ABC的形状。

由条件a2＋b2＋2c2＋507＝10a＋24b＋52c联想到配方，运用非负数性质，求得a、b、c的值。

∴∠C＝90°

故△ABC是直角三角形

本题将代数与几何融为一体，不妨细细体味其中的技巧。

创新应用题

例6.如图，在一张长48dm，宽10dm的长方形纸片长边竖直放一平面镜，一束光线从纸片顶点A处射入，恰好由O点反射后经过B点，求光线在纸片上通过的距离。

在物理中的光学知识中，平面镜成像，凸透镜成像中的线路图不仅包含对称，而且有时也包含直角三角形，对有些题目也能用勾股定理解答。

作点A关于CD的对称点A'

，连接A'

B，交CD于O点，则O点就是光的反射点。

∴△A'

OD≌△BOC（AAS）

∴OB＝26dm

∵AA'

两点关于直线CD对称

本题是以光的反射为背景的一道综合题，涉及丰富的几何知识，由此可见，数学是物理的基础。

【模拟试题】

（答题时间：

50分钟）

一.填空题。

1.在△ABC中，若∠A＝35°

，∠B＝55°

，则此三角形为_____________三角形。

2.在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C＝1：

2：

3，若AB＝10cm，BC的长是_____________。

3.如图，在△ABC中，∠A＝30°

，∠ACB＝90°

，CD⊥AB于D，若BC＝3，则AB＝_____________，BD＝_____________。

4.在Rt△ABC中，∠C＝90°

，若a：

b＝3：

4，c＝10，则a＝_____________，b＝_____________。

5.在△ABC中，三边长分别为，则_____________。

6.在△ABC中，，则△ABC是_____________三角形。

7.在一个三角形中，若一边上的中点到另两边距离相等，则该三角形是_____________三角形。

8.如图，在△ABC中，AB＝2AC，∠BAC＝2∠B，AE平分∠BAC，则∠C的度数是_____________。

二.选择题。

1.在判定三角形全等的三个条件中，至少要有（）

A.一个角对应相等B.两个角对应相等

C.一条边对应相等D.两条边对应相等

2.下列命题中，真命题的个数是（）

（1）有一个角为45°

的两个直角三角形全等

（2）斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等

（3）有一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等

（4）有一条直角边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.等边三角形一边上的高与边长的比为（）

A.B.C.D.1：

2

4.下列数组中，不是勾股数组的是（）

A.

B.

C.

D.

5.如图，将两个全等的有一个角等于30°

的直角三角形拼在一起，其中两条长直角边在同一直线上，则图中有（）个等腰三角形。

A.4个B.3个C.2个D.5个

三.有一次，小明坐着轮船由A点出发沿正东方向A