泰勒公式的证明及应用.docx

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泰勒公式的证明及应用

一．摘要……………………………………………………3

前言……………………………………………………3      

二、 泰勒公式极其极其证明…………………………...3                         

（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式………………3

（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式……………4

（三）带有柯西型余项的泰勒公式…………………5

（四）积分型泰勒公式………………………………………6

（五）二元函数的泰勒公式…………………………………..7

三、  泰勒公式的若干应用…………………………8

（一）利用泰勒公式求极限…………………………8

（二）利用泰勒公式求高阶导数……………………9

（三）利用泰勒公式判断敛散性……………………10

（四）利用泰勒公式证明中值定理…………………12

（五）利用泰勒公式证明不等式……………………13

（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计……………15

（七）利用泰勒公式研究函数的极值…………………16

四、我对泰勒公式的认识……………………………16

参考文献………………………………………………17

英文翻译…………………………………………………17

公式的证明及应用

【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。

在现代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。

在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。

并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法

【关键词】泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项极限级数

1、常见公式定义及其证明

我们通常所见的公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的公式和高阶函数的公式。

定义：

设函数存在n阶导数，由这些导数构成n次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。

1.1首先是带皮亚诺型余项的公式：

若函数在点存在且有阶导数，则有即

.

（2）

其中是由这些导数构造的一个次多项式，（3）

称为函数在点处的多项式，的各项系数称为

系数。

从上易知与其多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即

，.（4）

证明：

设，，

现在只要证

由关系式（4）可知，

并易知，

因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数。

于是，当且时，允许接连使用洛必达法则次，得到

称为公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项，所以

（2）式又称为带有皮亚诺型余项的公式。

1.2其次是带有拉格朗日型余项的公式：

若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，至少存在一点，使得

（1）

证明：

作辅助函数

所需证明的

（1）式即为

或

不妨设，则与在上连续，在内可导，且，

又因，所以由柯西中值定理证得

，

其中。

它的余项为

，

称为拉格朗日余项。

所以

（1）式又称为带有拉格朗日型余项的公式。

1.3柯西型公式：

若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，使得

（5）

证明：

作辅助函数

应用柯西中值定理可得，存在，使得

令即可得到（5）式。

1.4积分型公式：

如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数,则当x在内时,可表示为的一个次多项式与一个余项之和:

其中

证明：

由公式得：

即

……

从而有

……

其中

1.5二元函数的公式：

若函数在点的某邻域内有直到阶的连续偏导数，则对内的任一点，存在相应的，使得

（6）

（6）式称为二元函数在点的阶公式，其中

证明：

作辅助函数

由定理的假设，一元函数在上满足一元函数定理条件，于是有

（7）

应用复合函数求导法则，可求得的各阶导数：

当时，则有

（8）

及（9）

将（8），（9）式代入（7）式就得到了公式（6）。

2、公式的应用：

求极限、求高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值

2.1求极限

例1、求极限

解：

又，将用公式展开

则

2.2求高阶导数

例2、设，求。

分析：

这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式。

解：

　　　　　　（１０）

又在处的麦克劳林展开式为

　　（１１）

　　　　比较（１０），（１１）中的系数可得，

　　　　　，

由展开的唯一性，并有公式的各项系数则可得到高阶导数，即。

在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便。

2．3判断敛散性

例3、讨论级数，的敛散性。

解：

，

于是当时，级数收敛，当时，级数发散。

例4、设在点的某一邻域内有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。

分析：

由条件中的在点的某一邻域内有二阶连续导数可知使用公式，再由可得出关系，这使得在点处的展开式更简单，便于利用比较判别法判断收敛。

解：

由及在点的某一邻域内有二阶连续导数可得出，，将在点的某一邻域内展开成一阶公式，，，又由题中在属于某邻域内含点的一个小闭区间连续，因此存在，使，于是，令，则。

因为收敛，所以绝对收敛。

例5、判断广义积分的敛散性。

分析：

在判断广义积分收敛性时，通常选取广义积分进行比较，在此通过研究无穷小量的阶来有效地选择中的值，从而判定的敛散性。

我们要注意到如果

收敛，则也收敛。

而在这道题中，由于，所以是瑕点，由比较判别法可知，，

，若时，收敛；时，发散。

解：

从而有。

因为发散，所以发散，因此原积分发散。

例6、讨论无穷积分的敛散性。

解：

选取，因为，而，

由无穷积分的敛散性判别定理知收敛。

对于公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上例子有了具体的说明。

数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而公式在很多的积分都有其运用其主要原因就是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算。

2.4证明中值定理

例7、设函数在上三阶可导。

证明存在一点，使得

证明：

设存在一个常数，使得

令

则。

由定理可知，至少存在一点，使得。

即

将在展开为公式有

，，比较得，

则

。

2.5利用证明不等式

2.5.1证明积分不等式

例8、设是上的连续正值函数，且，，证：

。

证明：

将在点展开为一阶展式

。

2.5.2证明导数不等式

例9、设函数在上二次可微，且，，试证存在一点使。

分析：

函数在上二次可微，且最小值，所以在内一定存在极值点，该点的导数为，题中可知二次可微，我们可以想到展式，并且是在最小值点处展开。

解：

不妨设在为在上的最小值点，则，，

在处的展开得：

，是介于与之间的某个数，

当时，，即

当时，，即。

所以，当时，

当时，。

终上所述，存在一点使。

利用公式证明函数不等式步骤：

（1）、构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处的带有拉格朗日余项的公式；那么我们该选择哪个点处展开呢？

函数在一个区间性质常常可由区间中的一些特殊点来反映，如端点、分点、零点、极值点、最值点、拐点等。

此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点，运用时，就是将这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心。

（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对进行放缩。

2.6求近似值误差估计

例10、计算的值，使其误差不超过。

解：

由公式得

故，当时，便有

略去求得的近似解为

2.7研究函数的极值

例11、求函数f（x,y）=x4+y4-x2-2xy-y2的极值．

解fx（x,y）=4x3-2x-2y=0，fy（x,y）=4y3-2x-2y=0，

得驻点（1，1），（-1，-1），（0，0）。

判断：

求二阶偏导

fxx（x,y）=12x2-2,fxy（x,y）=-2,fyy（x,y）=12y2-2，

在点（1，1）处，

A=fxx（1,1）=10,B=fxy（1,1）=-2，C=fyy（1,1）=10．

因B2—AC<0，且A>0，故f（1,1）=-2为极小值．

类似可得f（-1,-1）=-2为极小值．

在点（0，0）处，A=B=C=-2，B2-AC=0，

此时应用极值定义判断f（0,0）=0是否为极值．

对足够小的正数，有

f（，0）=2（2-1）<0,f（，-）=24>0

这说明在点（0，0）的任一邻域内，既有函数值大于

f（0,0）的点，又有函数值小于f（0，0）的点，故

f（0，0）非极值.

3.我对公式的认识

3.1公式的几种形式在前面的证明和运用中我对其进行了具体的单独运用。

现在我来讨论下这几种形式中的一些特点。

首先带拉格朗日余项的泰勒公式才需要函数N+1阶可导，而带皮亚罗余项的泰勒公式只需要函数N阶可导。

这就说明了两者在具体的运用上存在着必然的联系和差异，两者在在数学中的可以把Lagrange余项看做Peano余项的进一步发展，但前提是Lagrange余项此时的可导条件更加的严格。

因此这两者在学习是可以相互结合学习，和运用。

3.2在学习了幂级数之后我们对公式的更深一步的了解认识到在将函数展成幂级数时就是在n->∞，从而导致在不确定因素得以消除，而公式也变成了精确的幂级数等式。

但前提的考虑幂级数的收敛域等问题。

3.3公式中的展开是函数的另一种表达形式，而不是固定的而是看要求展开的级数而定，在数学中展开的函数肯定是无限项的，而最关建的是函数的具体级数收敛性决定的，因为函数并不是在每一点都收敛因此才决定了泰勒展开的限制。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系，数学分析上册第三版，高等教育出版社，2001年。

[2]安世全，泰勒公式及其应用[J],高等数学研究，2001。

[3]北京大学数学系，数学分析习题集，北京高等教育出版社，1986.

[4]黄军华，带积分型泰勒余项在定积分中计算中的应用，玉林师范学院学报（自然科学版），2006.

[5]陈丽，泰勒公式的运用，郑州师范学院。

2001

[6]吴全荣.微分方程的通解”探析.漯河职业技术学院学报2009

（注：

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