高中自主招生考试数学试题含答案详解.docx

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高中自主招生考试数学试题含答案详解

高中自主招生考试数学试题（含答案详解）

一中自主招生考试数学试题

一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）

1．（4分）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（　　）

　　A．﹣2＜a＜2　　B．

　　C．

　　D．

2．（4分）假期里王老师有一个紧急通知，要用电话尽快通知给50个同学，假设每通知一个同学需要1分钟时间，同学接到电话后也可以相互通知，那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为（　　）

　　A．8分钟　　B．7分钟　　C．6分钟　　D．5分钟

3．（4分）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式

的值等于（　　）

　　A．

　　B．﹣6　　C．

　　D．6

打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方一定是　_________　．

12．（4分）（2002•广州）如图所示，在正方形ABCD中，AO⊥BD，OE，FG，HI都垂直于AD，EF，GH，IJ都垂直于AO，若已知S△AIJ=1，则正方形ABCD的面积为　_________　．

三．解答题（共6小题，满分52分）

13．（6分）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：

{1，2，3}，{2，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：

当实数a是集合的元素时，实数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．

（1）请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合；

（2）请你写出满足条件的两个好的集合的例子．

14．（8分）（2007•丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次．

（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？

（用树状图或列表法说明）

（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由．

15．（8分）某中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积．

（1）求原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？

16．（10分）如图，⊙O的直径EF=

cm，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=

cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动，设运动时间为t（s），当t=0s时，点B与点F重合．

（1）当t为何值时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切？

（2）当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时，请求出重叠部分的面积（精确到0.01）．

17．（10分）（2008•广东）

（1）如图1，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；

（2）如图2，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

18．（10分）（2008•益阳）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？

试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．

答案与评分标准

一．C，C，A，C，D，D

二．7，40，3

，

，甲，256，

三．解：

（1）集合{1，2}不是好的集合，

这是因为8﹣1=7，而7不是{1，2}中的数，

所以{1，2}不是好的集合，

{1，4，7}是好的集合，

这是因为8﹣1=7，7是{1，4，7}中的数，

8﹣4=4，4也是{1，4，7}中的数，

8﹣7=1，1又是{1，4，7}中的数．

所以{1，4，7}是好的集合；

（2）答案不唯一．集合{4}、{3，4，5}、{2，6}、{1，2，4，6，7}、{0，8}等都是好的集合．

解：

（1）踺子踢到小华处的概率是

．树状图如下：

列表法如下：

小丽

小王

小华

小王

（小丽，小王）

（小王，小华）

小华

（小华，小丽）

（小华，小王）

（2）小王．树状图如下：

理由：

若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是

，踢到其它两人处的概率都是

，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小．

解：

（1）由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米，则

答：

原计划拆建各4500平方米．

（2）计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元

实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000

∴节余资金：

3960000﹣3636000=324000

∴可建绿化面积=

平方米

答：

可绿化面积1620平方米．

解：

（1）∵∠BAC=30°，AB=

，

∴BC=

又∵⊙O的直径EF=

，即半径为

，

∠ACB=90°，

∴当点B运动到圆心O时，AC边与⊙O相切．（如图1所示）（1分）

此时运动距离为FO=

，

∴t=

s．（2分）

当BC边与⊙O相切时（如图2所示），

设切点为G．连接OG，则OG⊥BC．（3分）

由已知，∠BOG=∠BAC=30°，OG=

，

∴BO=2．（4分）

又FO=

，

∴BF=

．（此步亦可利用相似求解，请参照给分）

∴此时

s．（5分）

由上所述，当

秒时，Rt△ABC的直角边与⊙O相切．（6分）

（2）由图1，此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF．（7分）

由已知，∠COF=60°，∴

．（8分）

由图2，设AC与⊙O交于点M，

此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM．（9分）

过点M作MN⊥OG于N，则MN=GC．

由

（1）可知BG=1

则MN=GC=

．（10分）

∴

，

∴∠MON=25°，即∠MOE=55°．（11分）

∴

．（12分）

又∵OM=

，

∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419，（13分）

∴S△AOM=

•OA•h≈1.229cm2

此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2．（14分）

解：

（1）如图3，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，

且点O是线段AD的中点，

∴OD=OC=OB=OA，∠1=∠2=60°，

∴∠4=∠5．

又∵∠4+∠5=∠2=60°，

∴∠4=30°．

同理∠6=30°．

∵∠AEB=∠4+∠6，

∴∠AEB=60°．

（2）如图4，

∵△DOC和△ABO都是等边三角形，

∴OD=OC，OB=OA，∠1=∠2=60°．

又∵OD=OA，

∴OD=OB，OA=OC，

∴∠4=∠5，∠6=∠7．

∵∠DOB=∠1+∠3，

∠AOC=∠2+∠3，

∴∠DOB=∠AOC．

∵∠4+∠5+∠DOB=180°，∠6+∠7+∠AOC=180°，

∴2∠5=2∠6，

∴∠5=∠6．

又∵∠AEB=∠8﹣∠5，∠8=∠2+∠6，

∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2，

∴∠AEB=60°．

解：

（1）根据题意可得：

A（﹣1，0），B（3，0）；

则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），

又∵点D（0，﹣3）在抛物线上，

∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：

a=1

∴y=x2﹣2x﹣3（3分）

自变量范围：

﹣1≤x≤3（4分）

（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连接CM，

在Rt△MOC中，

∵OM=1，CM=2，

∴∠CMO=60°，OC=

在Rt△MCE中，

∵MC=2，∠CMO=60°，

∴ME=4

∴点C、E的坐标分别为（0，

），（﹣3，0）（6分）

∴切线CE的解析式为

（8分）

（3）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：

y=kx﹣3（k≠0）（9分）

由题意可知方程组

只有一组解

即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根，

∴k=﹣2（11分）

∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3．（12分）