2003年全国高中数学联赛试题及解答Word文档下载推荐.doc
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(A)(B)(C)(D)8
4.若x∈[-,-],则y=tan(x+)-tan(x+)+cos(x+)的最大值是
(A)(B)(C)(D)
5.已知x,y都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数u=+的最小值是
(A)(B)(C)(D)
6.在四面体ABCD中,设AB=1,CD=,直线AB与CD的距离为2,夹角为,则四面体ABCD的体积等于
(A)(B)(C)(D)
二.填空题(每小题9分,共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<
0的解集是.
8.设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△PF1F2的面积等于.
9.已知A={x|x2-4x+3<
0,x∈R},
B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}
若AÍ
B,则实数a的取值范围是.
10.已知a,b,c,d均为正整数,且logab=,logcd=,若a-c=9,则b-d=.
11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于.
12.设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1,2,…,n-1),an=1},Tn是Mn中元素的个数,Sn是Mn中所有元素的和,则=.
三、(本题满分20分)
13.设≤x≤5,证明不等式
2++<
2.
四、(本题满分20分)
14.设A、B、C分别是复数Z0=ai,Z1=+bi,Z2=1+ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点.证明:
曲线
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t(t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点,并求出此点.
五、(本题满分20分)
15.一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点A¢
刚好与点A重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A¢
取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.
加试题
(10月12日上午10:
00-12:
00)
一、(本题50分)
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间.在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.
求证:
∠DBQ=∠PAC.
二、(本题50分)
设三角形的三边长分别是正整数l,m,n.且l>
m>
n>
0.
已知==,其中{x}=x-[x],而[x]表示不超过x的最大整数.求这种三角形周长的最小值.
三、(本题50分)
由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形,其中n=q2+q+1,l≥q(q+1)2+1,q≥2,q∈N.已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q+2条连线段.证明:
图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形).
1997年全国高中数学联赛解答
1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2003项是
解:
452=2025,462=2116.
在1至2025之间有完全平方数45个,而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2003-1980=23项.由2025+23=2048.知选C.
曲线方程为+=1,直线方程为y=ax+b.
由直线图形,可知A、C中的a<
0,A图的b>
0,C图的b<
0,与A、C中曲线为椭圆矛盾.
由直线图形,可知B、D中的a>
0,b<
0,则曲线为焦点在x轴上的双曲线,故选B.
(A)(B)(C)(D)8
抛物线的焦点为原点(0,0),弦AB所在直线方程为y=x,弦的中点在y==上,即AB中点为(,),中垂线方程为y=-(x-)+,令y=0,得点P的坐标为.
∴PF=.选A.
令x+=u,则x+=u+,当x∈[-,-]时,u∈[-,-],
y=-(cotu+tanu)+cosu=-+cosu.在u∈[-,-]时,sin2u与cosu都单调递增,从而y单调递增.于是u=-时,y取得最大值,故选C.
由x,y∈(-2,2),xy=-1知,x∈(-2,-)∪(,2),
u=+==1+.
当x∈(-2,-)∪(,2)时,x2∈(,4),此时,9x2+≥12.(当且仅当x2=时等号成立).
此时函数的最小值为,故选D.
如图,把四面体补成平行六面体,则此平行六面体的体积=1×
×
sin×
2=3.
而四面体ABCD的体积=×
平行六面体体积=.故选B.
即|x|3-2|x|2-4|x|+3<
0,Þ
(|x|-3)(|x|-)(|x|+)<
0.Þ
|x|<
-,或<
3.
∴解为(-3,-)∪(,3).
F1(-,0),F2(,0);
|F1F2|=2.
|PF1|+|PF2|=6,Þ
|PF1|=4,|PF2|=2.由于42+22=
(2)2.故DPF1F2是直角三角形.
∴S=4.
A=(1,3);
又,a≤-21-x∈(-1,-),当x∈(1,3)时,a≥-7∈(-7,-4).
∴-4≤a≤-1.
a3=b2,c5=d4,设a=x2,b=x3;
c=y4,d=y5,x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9.
∴x+y2=9,x-y2=1,x=5,y2=4.b-d=53-25=125-32=93.
如图,ABCD是下层四个球的球心,EFGH是上层的四个球心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形.是把正方形ABCD绕其中心旋转45°
而得.设E的射影为N,则
MN=-1.EM=,故EN2=3-(-1)2=2.∴EN=.所求圆柱的高=2+.
由于a1,a2,…,an-1中的每一个都可以取0与1两个数,Tn=2n-1.
在每一位(从第一位到第n-1位)小数上,数字0与1各出现2n-2次.第n位则1出现2n-1次.
∴Sn=2n-2´
0.11…1+2n-2´
10-n.
∴=´
=.
解:
x+1≥0,2x-3≥0,15-3x≥0.Þ
≤x≤5.
由平均不等式≤≤.
∴2++=+++≤2.
但2在≤x≤5时单调增.即2≤2=2.
故证.
曲线方程为:
Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a(0≤x≤1).①
若a-2b+c=0,则Z0、Z1、Z2三点共线,与已知矛盾,故a-2b+c¹
0.于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线.
AB中点M:
+(a+b)i,BC中点N: