2003年全国高中数学联赛试题及解答Word文档下载推荐.doc

1、（A） （B） （C） （D） 84若x，则y=tan（x+）tan（x+）+cos（x+）的最大值是 （A） （B） （C） （D） 5已知x，y都在区间（2，2）内，且xy=1，则函数u=+的最小值是（A） （B） （C） （D） 6在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于 （A） （B） （C） （D） 二填空题（每小题9分，共54分）7不等式|x|32x24|x|+30的解集是 8设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|=21，则PF1F2的面积等于 9已知A=x|x24x+30，xR，B=x

2、|21x+a0，x22（a+7）x+50，xR若AB，则实数a的取值范围是 10已知a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，若ac=9，则bd= 11将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 12 设Mn=（十进制）n位纯小数0.|ai只取0或1（i=1，2，n1），an=1，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则= 三、（本题满分20分）13设x5，证明不等式 2+mn0已知=，其中x=xx，而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值三、（本题50分）由n个点和这

3、些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，lq（q+1）2+1，q2，qN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形）1997年全国高中数学联赛解答1删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列这个数列的第2003项是解：452=2025，462=2116在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数故1至2025中共有新数列中的202545=1980项还缺20031980=23项由2025+23=20

4、48知选C曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b由直线图形，可知A、C中的a0，C图的b0，b0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B （A） （B） （C） （D） 8抛物线的焦点为原点（0，0），弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y=上，即AB中点为（，），中垂线方程为y=（x）+，令y=0，得点P的坐标为 PF=选A令x+=u，则x+=u+，当x，时，u，y=（cotu+tanu）+cosu=+cosu在u，时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增于是u=时，y取得最大值，故选C由x，y（2，2），xy=1知，x（2，）（，2），u=+=1+当x（2，）（，2）时，x2（

5、，4），此时，9x2+12（当且仅当x2=时等号成立）此时函数的最小值为，故选D如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1sin2=3而四面体ABCD的体积=平行六面体体积=故选B即|x|32|x|24|x|+30，（|x|3）（|x|）（|x|+）0|x|，或3 解为（3，）（，3）F1（，0），F2（，0）；|F1F2|=2 |PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2由于42+22=（2）2故DPF1F2是直角三角形 S=4A=（1，3）；又，a21x（1，），当x（1，3）时，a 7（7，4） 4a1a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=

6、y5，x2y4=9（x+y2）（xy2）=9 x+y2=9，xy2=1，x=5，y2=4bd=5325=12532=93如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心每个球心与其相切的球的球心距离=2EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形是把正方形ABCD绕其中心旋转45而得设E的射影为N，则MN=1EM=，故EN2=3（1）2=2 EN=所求圆柱的高=2+由于a1，a2，an1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n1在每一位（从第一位到第n1位）小数上，数字0与1各出现2n2次第n位则1出现2n1次 Sn=2n20.111+2n210n = 解：x+10，2x30，153

7、x0x5由平均不等式 2+=+2 但2在x5时单调增即22=2 故证曲线方程为：Z=aicos4t+（1+2bi）cos2tsin2t+（1+ci）sin4t=（cos2tsin2t+sin4t）+i（acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t） x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t（cos2t+sin2t）=sin2t（0x1） y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a（1x）2+2b（1x）x+cx2 即 y=（a2b+c）x2+2（ba）x+a （0x1） 若a2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a2b+c0于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线AB中点M：+（a+b）i，BC中点N：