复变函数论第三版课后习题答案解析Word格式.docx
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又
故,
同理,知就是内接于单位圆的一个正三角形。
6.下列关系表示点的轨迹的图形就是什么？
它就是不就是区域。
（1）;
点的轨迹就是与两点连线的中垂线,不就是区域。
（2）;
令
由,即,得
故点的轨迹就是以直线为边界的左半平面（包括直线）;
不就是区域。
（3）
令,
由,得,即;
故点的轨迹就是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）;
就是区域。
（4）;
由,得,即
故点的轨迹就是以直线为边界的梯形（包括直线;
不包括直线）;
（5）;
点的轨迹就是以原点为心,2为半径,及以为心,以1为半径的两闭圆外部,就是区域。
（6）;
点的轨迹就是位于直线的上方（不包括直线）,且在以原点为心,2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）;
（7）;
点的轨迹就是以正实轴、射线及圆弧为边界的扇形（不包括边界）,就是区域。
（8）
由,得
故点的轨迹就是两个闭圆的外部,就是区域。
7.证明:
z平面上的直线方程可以写成（a就是非零复常数,C就是实常数）
证设直角坐标系的平面方程为将
代入,得
令,则,上式即为。
反之:
将,代入
得
则有;
即为一般直线方程。
8.证明:
平面上的圆周可以写成
其中A、C为实数,为复数,且。
设圆方程为
其中当时表实圆;
将代入,得
即
其中
且;
令代入
得其中
即为圆方程。
10.求下列方程（t就是实参数）给出的曲线。
（1）;
（2）;
（3）;
（4）,
解
（1）。
即直线。
（2）,即为椭圆;
（3）,即为双曲线;
（4）,即为双曲线中位于第一象限中的一支。
11.函数将z平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？
（2）
解,,可得
（1）就是平面上一直线;
（2）,
于就是,就是平面上一平行与v轴的直线。
13.试证在负实轴上（包括原点）不连续,除此而外在z平面上处处连续。
证设,因为f（0）无定义,所以f（z）在原点z=0处不连续。
当z0为负实轴上的点时,即,有
所以不存在,即在负实轴上不连续。
而argz在z平面上的其它点处的连续性显然。
14.设
求证在原点处不连接。
证由于
可知极限不存在,故在原点处不连接。
16、试问函数f（z）=1/（1–z）在单位圆|z|<
1内就是否连续？
就是否一致连续？
【解】
（1）f（z）在单位圆|z|<
1内连续.
因为z在内连续,故f（z）=1/（1–z）在\{1}内连续（连续函数的四则运算）,因此f（z）在单位圆|z|<
（2）f（z）在单位圆|z|<
1内不一致连续.
令zn=1–1/n,wn=1–1/（n+1）,n∈+.
则zn,wn都在单位圆|z|<
1内,|zn-wn|0,
但|f（zn）-f（wn）|=|n-（n+1）|=1>
0,故f（z）在单位圆|z|<
[也可以直接用实函数f（x）=1/（1–x）在（0,1）不一致连续来说明,只要把这个实函数瞧成就是f（z）在E={z∈|Im（z）=0,0<
Re（z）<
1}上的限制即可.]
17、试证:
复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限的充要条件就是实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限.
（）若复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限,
则∀ε>
0,∃N∈+,使得∀n>
N,有|zn-z0|<
ε.
此时有|xn-x0|≤|zn-z0|<
ε;
|yn-y0|≤|zn-z0|<
故实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限.
（）若实数列{xn}及{yn}分别以x0及y0为极限,则∀ε>
0,
∃N1∈+,使得∀n>
N1,有|xn-x0|<
ε/2;
∃N2∈+,使得∀n>
N2,有|yn-y0|<
ε/2.
令N=max{N1,N2},则∀n>
N,有n>
N1且n>
N2,
故有|zn-z0|=|（xn-x0）+i（yn-y0）|≤|xn-x0|+|yn-y0|<
ε/2+ε/2=ε.
所以,复数列zn=xn+iyn以z0=x0+iy0为极限.
20、如果复数列{zn}合于limn∞zn=z0≠∞,证明limn∞（z1+z2+、、、+zn）/n=z0.
当z0≠∞时,结论就是否正确？
（1）∀ε>
0,∃K∈+,使得∀n>
K,有|zn-z0|<
ε/2.
记M=|z1-z0|+、、、+|zK-z0|,则当n>
K时,有
|（z1+z2+、、、+zn）/n-z0|=|（z1-z0）+（z2-z0）+、、、+（zn-z0）|/n
≤（|z1-z0|+|z2-z0|+、、、+|zn-z0|）/n
=（|z1-z0|+、、、+|zK-z0|）/n+（|zK+1-z0|+、、、+|zn-z0|）/n
≤M/n+（n-K）/n·
（ε/2）≤M/n+ε/2.
因limn∞（M/n）=0,故∃L∈+,使得∀n>
L,有M/n<
令N=max{K,L},则当n>
|（z1+z2+、、、+zn）/n-z0|≤M/n+ε/2<
ε/2+ε/2=ε.
所以,limn∞（z1+z2+、、、+zn）/n=z0.
（2）当z0≠∞时,结论不成立.这可由下面的反例瞧出.
例:
zn=（-1）n·
n,n∈+.显然limn∞zn=∞.
但∀k∈+,有（z1+z2+、、、+z2k）/（2k）=1/2,
因此数列{（z1+z2+、、、+zn）/n}不趋向于∞.
[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同,甚至反例都就是一样的.]
2.如果,试证明
解
（1）
（2）
4.设,试证
及
有
6、设|z|=1,试证:
|（az+b）/（b*z+a*）|=1.（z*表示复数z的共轭）
【解】此题应该要求b*z+a*≠0.
|az+b|=|（az+b）*|=|a*z*+b*|=|a*z*+b*|·
|z|=|（a*z*+b*）·
z|
=|a*z*·
z+b*·
z|=|a*|z|2+b*·
z|=|b*z+a*|.
故|（az+b）/（b*z+a*）|=1.
8、试证:
以z1,z2,z3为顶点的三角形与以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件为
=0.
【解】两个三角形同向相似就是指其中一个三角形经过（一系列的）旋转、平移、位似这三种初等几何变换后可以变成另一个三角形（注意没有反射变换）.例如
我们将采用下述的观点来证明:
以z1,z2,z3为顶点的三角形与以w1,w2,w3为顶点的三角形同向相似的充要条件就是:
将它们的一对对应顶点都平移到原点后,它们只相差一个位似旋转.
记f1（z）=z-z1（将z1变到0的平移）;
f3（z）=z-w1（将0变到w1的平移）;
那么,三角形z1z2z3与三角形w1w2w3同向相似
存在某个绕原点的旋转位似变换f2（z）=z0z,
使得f2（f1（zk））=f3（wk）,（k=2,3）,其中z0∈\{0}
存在z0∈\{0},使得z0（zk-z1）=wk-w1,（k=2,3）
（w2-w1）/（z2-z1）=（w3-w1）/（z3-z1）
=0
=0.[证完]
9、试证:
四个相异点z1,z2,z3,z4共圆周或共直线的充要条件就是
（z1–z4）/（z1–z2）:
（z3–z4）/（z3–z2）为实数.
【解】在平面几何中,共线的四个点A,B,C,D的交比定义为
（A,B;
C,D）=（AC/CB）:
（AD/DB）.
这就是射影几何中的重要的不变量.
类似地,在复平面上,（不一定共线的）四个点z1,z2,z3,z4的交比定义为
[z1z2,z3z4]=（z1–z3）/（z2–z3）:
（z1–z4）/（z2–z4）.
本题的结论就是说:
复平面上四个点共圆或共线的充要条件就是其交比为实数.
（）分两种情况讨论
（1）若（z1–z4）/（z1–z2）为实数,则（z3–z4）/（z3–z2）也就是实数.
设（z1–z4）/（z1–z2）=t,t∈.则z4=（1–t）z1+tz2,
故z4在z1,z2所确定的直线上,即z1,z2,z4共线.
因此,同理,z1,z2,z3也共线.所以,z1,z2,z3,z4就是共线的.
（2）若（z1–z4）/（z1–z2）为虚数,则（z3–z4）/（z3–z2）也就是虚数.
故Arg（（z1–z4）/（z1–z2））≠kπ,Arg（（z3–z4）/（z3–z2））≠kπ.
而Arg（（z1–z4）/（z1–z2））–Arg（（z3–z4）/（z3–z2））
=Arg（（z1–z4）/（z1–z2）:
（z3–z4）/（z3–z2））=kπ.
注意到Arg（（z–z4）/（z–z2））=Arg（（z4–z）/（z2–z））就是z2–z到z4–z的正向夹角,
若Arg（（z1–z4）/（z1–z2））=Arg（（z3–z4）/（z3–z2））,
则z1,z3在z2,z4所确定的直线的同侧,且它们对z2,z4所张的角的大小相同,
故z1,z2,z3,z4就是共圆的.
若Arg（（z1–z4）/（z1–z2））=Arg（（z3–z4）/（z3–z2））+π,
则z1,z3在z2,z4所确定的直线的异侧,且它们对z2,z4所张的角的大
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